第五章定积分方案.PDF

忻州师范学院数学系高等数学教案 第五章 定积分 第五章 定积分 教学目的： 1、 理解定积分的概念。 2 、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部 积分法。 3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨 公式。 4 、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2 、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 1、定积分的概念 2 、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4 、变上限函数的导数。 忻州师范学院高等数学课程建设组 1 忻州师范学院数学系高等数学教案 第五章 定积分 §5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积 曲边梯形: 设函数y f (x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线x a 、x b 、y 0 及曲线y f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形 代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和 就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a, b] 中任意插入若干个分点 a x x x ⋅ ⋅ ⋅ x x b, 0 1 2 n− 1 n 把[a, b]分成 n 个小区间 [x , x ], [x , x ], [x , x ], ⋅ ⋅ ⋅ , [x , x ], 0 1 1 2 2 3 n− 1 n 它们的长度依次为Δx x −x , Δx x −x , ⋅ ⋅ ⋅ , Δx x −x . 1 1 0 2 2 1 n n n− 1 经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段, 把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形. 在 每个小区间 [x , x ]上任取一点ξ , 以[x , x ]为底、f (ξ )为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形 i− 1 i i i− 1 i i (i 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n) , 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似 值, 即 n A≈f (ξ )Δx + f (ξ )Δx +⋅ ⋅ ⋅+ f (ξ )Δxf Δ (x )ξ . 1 1 2 2 n n ∑i i i 1 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多