利用最小二乘法的曲线拟合.ppt

* 非线性最小二乘拟合（续） （3） 两边取对数，得 则得 令 * 非线性最小二乘拟合（续） 令 则得 （4） * 非线性最小二乘拟合（续） （5） 令 则得 * 例题 例3.4 给定实验数据 x 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 y 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46 试求形如 的拟合函数。 * 例题 解 对拟合函数的两边取自然对数，即 令 则上式 成为关于A，b 的线性函数 * 例题 根据数据(x , y) 算出对应的(z , w) , 得下表 z 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 w 1.6292 1.7561 1.8764 2.0082 2.1353 建立法方程 * 例题 解得 因此，所求的拟合函数为 * 本章小结 最小二乘法曲线拟和是实验数据处理的常用方法。对于非线性最小二乘拟合，需首先转化为线性最小二乘拟合后求解。 * * 第3章 函数逼近 §3.1　曲线拟合的最小二乘法 * §3.1 曲线拟合的最小二乘法 问题的提出 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。 提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y,在座标纸上标出各点，可以发现什么? * 数据表格 * 数据图 * 曲线拟合 已知的离散数据yi=f(xi) (i=0,1,2, …,n)往往是通过观测而得到的，经常带有观测误差。 曲线拟合：希望找到—条曲线，它既能反映结定数据的总体分布形式，又不致于出现局部较大的波动。这种逼近方式．只要所构造的逼近函数?(x)与被逼近函数f(x)在区间[a,b]上的偏差满足其种要求即可。 * 偏差 设给定数据点 (xi,yi), (i=0,1,2, …,n),记 并称ei为偏差。 * 最小二乘法 曲线拟合的最小二乘法：以使得偏差的平方和 最小为标准 * 例题 例3.1 某合金成分x与膨胀系数y之间的关系有如下实验数据，求膨胀系数y与成分x的拟合曲线y=P(x)。 i 0 1 2 3 4 5 6 x 37 38 39 40 41 42 43 y 3.40 3.00 2.10 1.53 1.80 1.90 2.90 * 例题 解 将数据标在坐标纸上，由散点图可以 推断他们大致分布在一条抛物线上。为 此取 * 例题 * 例题 * 例题 得到的方程组称为矛盾方程组。令 * 例题 得 上述方程组称为矛盾方程组。两边同乘以 即 * 例题 解得 于是所求拟合曲线为 * 线性矛盾方程组 方程个数大于未知量个数的方程组称为矛盾方程组，一般形式为 即 * 线性矛盾方程组（续） Ax＝b A是 n ×m阶的列满秩矩阵, x是 m维的列向量, b是 n维的列向量, 剩余向量 （3.11） （3.12） * 线性矛盾方程组（续） * 线性矛盾方程组（续） 该式称为方程组Ax＝b 的法方程。因此，求解n阶矛盾 方程组的问题转化求解m阶线性方程组的问题。 * 例题 例3.2 对例3.2中的数据，试求形如 的拟合函数。 解：按题意，得矛盾方程组， * 例题 * 例题 写成矩阵形式，为 其中 * 例题 其法方程为 即 * 例题 * 解出 因此所求的拟合函数为 * 例题 例3.3 已知观测数据(1，-5)，(2，0)，(4，5)，(5，6)，试用最小二乘法求形如 上的经验公式。 * 例题 * 解：记 按题意，得矛盾方程组， 写成矩阵形式，为 * 例题 写成矩阵形式，为 其中 * 例题 其法方程为 即 * 其法方程为 即 解得 于是所求拟合曲线为 * 已知观测数据(1，5)，(2，21)，(3，46)，试用最小二乘法求形如 上的经验公式。 非线性最小二乘拟合 * 非线性最小二乘拟合 得到的是非线性方程组，求解通常比较困难。 * 非线性最小二乘拟合 两边取对数，得 则得 令 （1） * 非线性最小二乘拟合 两边取自然对数，得 令 则得 （2）