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第六节 曲线拟合的最小二乘法 * ? 2009, Henan Polytechnic University * §6 曲线拟合的最小二乘法 第三章 函数逼近与计算 * 实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录: 3.6.1 一般的最小二乘逼近 纤维强度随拉伸 倍数增加而增加 并且24个点大致分 布在一条直线附近 必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点。 一般使用 在回归分析中称为残差 称为平方误差。 在回归分析中称为残差平方和. 从而确定(1)中的待定系数: 注意(1)式是一条直线, 因此将问题一般化为: 1. 什么是最小二乘法 仍然定义平方误差 我们选取的度量标准是 由 可知 因此可假设 因此求最小二乘解转化为 二次函数 2. 最小二乘法的求法 由多元函数取极值的必要条件 得 即 即 引入记号 则由内积的概念可知 显然内积满足交换律 方程组便可化为 将其表示成矩阵形式 并且其系数矩阵为对称阵 所以法方程组的系数矩阵非奇异,即 根据Cramer法则,法方程组有唯一解 即 是 的最小值 所以 因此 作为一种简单的情况, 基函数之间的内积为 平方误差 例1. 回到本节开始的实例，从散点图可以看出 纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系 故可选取线性函数 为拟合函数，其基函数为 建立法方程组 根据内积公式，可得 法方程组为 解得 平方误差为 拟合曲线与散点 的关系如右图: 例2. 求拟合下列数据的最小二乘解 x=.24 .65 .95 1.24 1.73 2.01 2.23 2.52 2.77 2.99 y=.23 -.26 -1.10 -.45 .27 .10 -.29 .24.56 1 解: 从数据的散点图可以看出 因此假设拟合函数与基函数分别为 6.7941 -5.3475 63.2589 -5.3475 5.1084 -49.0086 63.2589 -49.0086 1002.5 1.6163 -2.3827 26.7728 通过计算,得法方程组的系数矩阵及常数项矩阵为 Go! Go! 用Gauss列主元消去法,得 -1.0410 -1.2613 0.030735 拟合的平方误差为 图象如图 例3. 在某化学反应里,测得生成物浓度y%与时间t的 数据如下，试建立y关于t的经验公式 t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00, 10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60 解: 具有图示的图形的曲线很多，本题特提供两种形式 两边取对数,得 得 即为拟合函数 基函数为 解法方程组得 平方误差为 用最小二乘法得 即 无论从图形还是从平方误差考虑 在本例中指数函数拟合比双曲线拟合要好 平方误差为 从本例看到，拟合曲线的数学模型并不是一开始就能选好的，往往要通过分析确定若干模型之后，再经过实际计算，才能选到较好的模型。 各点的重要性可能是不一样的 重度: 即权重或者密度，统称为权系数 定义加权 平方误差为: 关于加权最小二乘法 使得 由多元函数取极值的必要条件 得 即 引入记号 定义加权内积 矩阵形式(法方程组)为 方程组化为 * ? 2009, Henan Polytechnic University * §6 曲线拟合的最小二乘法 第三章 函数逼近与计算