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第三章曲线拟合的最小二乘法

3.1.最小二乘法的提法需要从一组给定的数据中，寻找自变量X与变量y之间的关系例：60年代世界人口增长情况如下：年19601961196319641965196619671968人口30.6131.5132.1332.3432.8533.5634.2034.83有人根据以上数据预测2000人口会超过60亿，现在已经成为现实

给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。在实际中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也包括在内。问题：因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段：①不要求过所有的点（可以消除误差影响）；②尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。设近似函数为：函数值与观测值之差称为残差可以用残差来衡量近似函数的好坏

多项式拟合设已知点求m次多项式来拟合函数需要求出多项式的m+1个待定系数即可，且使得以下函数值达到最小F（a0，a1，…，am）==拟合问题的几何背景是寻求一条近似通过给定离散点的曲线，故称曲线拟合问题。

要是函数值达到最小，由高等数学知识有：01j=0，1，2，…，m02于是得到法方程03即04可以证明该方程组有唯一解05

例1：求数据xi－1－0.75－0.5－0.2500.250.50.751yi－0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.76014.2836解得最小二乘二次拟合多项式为P2（x）=2.0034＋2.2625x＋0.0378x2的最小二乘二次拟合多项式。解：设二次拟合多项式为P2（x）=a0＋a1x＋a2x2，将数据代入得线性方程组

法方程组可写成以下形式01令02则法方程系数矩阵为：03常数项为：04法方程组的一般形式：

3.2.2指数拟合对已知点在坐标上描点，这些点若近似一条指数曲线，来拟合由，可以先做可以先做出的一次线性拟合则考虑用指数函数例2设一发射源强度公式为观测数据如下ti0.20.30.40.50.60.70.8Ii3.162.381.751.341.000.740.56试用最小二乘法确定I与t的关系式。

解：将观测数据化为ti0.20.30.40.50.60.70.8lnIi1.15060.86710.55960.28270.0000－0.3011－0.5798求最小二乘拟合直线，代入法方程公式得：解得所以I0==5.64a=－2.89则I=5.64e－2.89t

令06即05求驻点，令04为线性无关的基函数03j=0，1，2，…，m02j，k=0，1，2，…，m013.2.3最小二乘法一般形式

则法方程组可写成以下形式①函数空间的基然后列出法方程②函数空间的基然后列出法方程

解：函数空间的基例3，然后列出法方程

，可以先做由