最小二乘法和曲线拟合.ppt

如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,…,n)处 的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。但在科学实验和生产实践中，往往会遇到这样一种情况，即节点上的函数值并不是很精确的，这些函数值是由实验或观测得到的数据，不可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有的点(xi,yi),就会使曲线保留着一切测试误差。;为此,我们希望从给定的数据(xi,yi)出发,构造一个近似函数 ,不要求函数 完全通过所有的数据点，只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势， 如图5-7所示。;也就是说拟合函数 在xi处的偏差(亦称残差） 不都严格地等于零。即为矛盾方程组。;即 ;??? 作拟合直线;其中每组数据与拟合曲线的偏差为;即得如下正规方程组 ;也可将条件带入构成矛盾方程组;即得如下正规方程组 ;例：某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。试确定这种关系。;（提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y, 在座标纸上标出各点，可以发现什么?）;　;解得： a=0.15 , b=0.859 直线方程为：y=0.15+0.859x ; 1 2 3 4 1.36 1.37 1.95 2.28 14.094 16.844 18.475 20.963;设所求的拟合直线为;解得 ;（2）多项式拟合 有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条直线,这时仍用直线拟合显然是不合适的,可用多项式拟合。;来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的 平方和;由于Q可以看作是关于 ( j=0,1,2,…, m)的多元函数, 故上述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的极值问题。令;即有 ;也可利用矛盾方程组来做;即有 ;1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 5 2 1 1 2 3;由法方程组（5.46）, n=6, 经计算得 ;解之得 ;例1 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示;则;由 可得;例：试用最小二乘法求形如 的多项式，使之与下列数据拟合。;由 可得;（3）可化为线性拟合的非线性拟合;可以看出这些点接近指数曲线,因而可取指数函数 作为拟合函数：;则正规方程组为 ;将以上数据代入上式正规方程组，得;由 得; 有些非???性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。;下表列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解的 曲线拟合方程及变换关系 ; 曲线拟合方程 变换关系 变换后线性拟合方程