不等式证明的有关问题.doc

不等式证明的有关问题 王海宏 运用构造法证明不等式不但可以巧妙地解决一些难题，而且可以培养学生的数学创造力. 在证明不等式的问题时，通过观察，抓住问题的特点，巧妙构造数学模型，使问题得以顺利解决. 一、构造函数证明不等式 例1 求证sin2x＋≥5 导析：研究函数f(t)=t+ eq \f(4,t)，t∈的单调性，当0＜t1＜t2≤1时，f(t1)－f(t2)=(t1－t2)＋(－)=(t1－t2)＋4(t2－t1)·=(t1－t2)() ∵t1－t2＜0，0＜t1t2＜1，t1t2－4＜0 ∴f(t1)＞f(t2) ∴f(t)在上是减函数， ∴f(1)是函数f(t)=t+ eq \f(4,t)在t∈上的最小值， ∴t+ eq \f(4,t)≥f(1)=5 即sin2x＋≥5. 例2 试证≥ eq \f(5,2) 证明：== 设t=则t≥2 令f(t)=t+ eq \f(1,t) 易证当t∈时，f(t)单调递增（证明略） ∴f(t)min=2＋ eq \f(1,2) = eq \f(5,2) ∴≥ eq \f(5,2) 注：在上述例1和例2中，学生往往易联系到不等式“a＋b≥2 eq \r(,ab)，a∈R+，b∈R+”，但上述等号只有在a=b时，即例1 sin2x=2，例2 =1时才能取到，这是不可能的. 我们运用构造法把它们转化为求单调函数的值域，从而使问题轻易得以解决. 构造一个反映问题特征的函数，视所证不等式的字母为这个函数的自变量，此外这个函数必须在定义域内是单调函数. 一般地，当x＞0时，f(x)=x+ eq \f(m,x)(m＞0)在x∈上递减，在上递增. 例如，f(x)=x＋ eq \f(1,x) ＋(x＞0)最小值为 eq \f(5,2)，而不是2. 二、构造方程证明不等式 例3 求证x∈R，有－ eq \f(1,3)≤≤3 证明：令t=taneq \f(x,2)，由万能公式得 y== 于是(7y－11)t2＋(6y＋2)t＋(3y＋1)=0 ∵Δ=(6y＋2)2－4(7y－11) (3y＋1)≥0 即3y2－8y－3≤0得－ eq \f(1,3)≤y≤3 ∴－ eq \f(1,3)≤≤3 例4 在ΔABC中，已知 lgtanA＋lgtanC=2lgtanB 求证： eq \f(π,3)≤B＜ eq \f(π,2) 证明：由对数的定义可知tanB＞0，故0＜B＜ eq \f(π,2) 由题设得tanA·tanC=tan2B 又∵A＋B＋C=π ∴tanA＋tanC=(1－tanA·tanC)tan(A＋C)= (1－tan2B) (－tanB) 以tanA,tanC为两根的(构造)方程为： x2－(1－tan2B) (－tanB)x＋tan2B=0 因为方程有实根，由判别式可得tan2B≥3 故 eq \f(π,3)≤B＜ eq \f(π,2) 三、构造几何图形证明不等式 例5 求证：若x，y，z∈R+，则＋＞ OABC图1xyz导析：此题显然不可能用比较法、综合法证明，分析法也太复杂，放缩法好象可以试试，但还是失败了. 考虑到要证明的不等式是一个对称式，与余弦定理的表示式有一定的联系，不妨构造ΔABC，如图1，在平面内取点O，作线段OA=x，OB=y，OC=z，且使∠AOB=∠AOC=∠BOC=120o，连结AB、BC、CA，则分别在ΔAOB、ΔAOC、ΔBOC中，由余弦定理得，=AB，=BC，=AC，显然在ΔABC中，两边之和大于第三边，故有＋＞ O A B C 图1 x y z 例6 已知：f(x)=，a≠b且ab＞0 y图2A(1, a)Ox1abB(1, b)求证：|f(a y 图2 A(1, a) O x 1 a b B(1, b) 证明：如图2，f(a)=可以表示平面上点A(1，a)到O(0，0)的距离，f(b)=表示点B(1，b)到O(0，0)的距离，而|a－b|表示A(1，a)及B(1，b)两点间距离. ∵a≠b ∴A、O、B三点组成一个三角形，由三角形两边之差的绝对值小于第三边，可得|f(a)－f(b)|＜|a－b|. 构造思维方法，启发我们从多角度去思考问题. 善于应用数学语言构造适当的模型，综合利用各种知识去处理问题，与已学过的各种数学思维方法相结合，在解决数学问题的时候才能思路开阔，得心应手.