高考数学压轴题之证明与自然数有关的不等式.doc

高考压轴题之证明与自然数有关的不等式 近年来，证明不等式经常作为高考压轴题或者竞赛题出现，题目通常设计两问，第一问提供了一个可以利用的函数，但是仍然有不少考生找不到利用这个函数的办法，因此笔者仔细研究了这一类问题，发现这种题型，考生不必一定要用第一问提供的函数，只要利用数学归纳法，就可以自己找到需要的函数，不一定利用命题者提供的函数。 现在举例说明如何利用数学归纳法探索构造函数证明不等式． 例题：求证：． 证法一：（1）当时，左边，右边，左边右边，不等式成立． （2）假设当时，不等式成立，即， 则当时，，而 ， 所以，即当时，不等式也成立． 由（1）（2）可知，对于任意 ，都有． 说明：上面的证明中，可以认为利用了函数的单调性，这个证明中利用的函数比较简单，所以对于构造函数的过程看的不够明朗，下面的证法二可以比较清楚的看到构造过程． 证法二：（1）当时，左边，右边，左边右边，不等式成立． （2）假设当时，不等式成立，即， 则当时 ，只要证明， 为了利用上假设， 我们作如下变形，， 只要证， 利用上假设， 只要证 即只要证， 注意到互为倒数，并且， 即只要证，其中， 　令（）,则，所以在上是增函数， 　所以，所以 （）成立， 即当时，不等式也成立． 由（1）（2）可知，对于任意 ，都有． 说明： 这类题目，若是利用拆项的办法还可以构造与上面不同的函数，请看下面的证法三： 证法三：要证 ， 只要证 ， 只要证 ， 只要证 ， 只要证 ，，，， 只要证，其中， 令，， ， 当时，， 当时，， 所以当时， 取最大值为， 所以（）成立，所以原不等式成立． 说明：显然，上面的证法构造思路比较特殊，但是主要利用了对数的一个基本的运算性质， 即，事实上证法二也是利用这一公式找到构造方法的， 可以看出无论多么复杂的题目，其根仍然是最基本的数学公式．　 针对练习： 1.证明： 证明：（用数学归纳法）（1）当时，左边，右边，不等式成立． （2）假设时，不等式成立，　 就是　 那么 ， 所以要证， 只要证， 即证，即证，其中， 构造函数(), , 所以()是减函数，所以， 所以（）成立． 所以， 即当时，不等式成立． 由（1）（2）可知，对于任意 ，都有． 2．已知的图像在点处的切线与直线平行. （1）求实数，满足的关系式； （2）若上恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：（）． 解：（1），根据题意，即 （2）由（Ⅰ）知，， 令， 则，= ①当时， ， 若，则，在为减函数，存在， 即在上不恒成立． ②时，，当时，，在增函数，又， ∴，∴恒成立． 综上所述，所求的取值范围是 （3）有（Ⅱ）知当时，在上恒成立．取得 令，得， 即 ∴ 上式中令，并注意到： 然后 个不等式相加得到．