2024年中考数学复习-探究函数背景下的面积复习讲义.docx

探究函数背景下的面积复习讲义

知识理解与建构

一般的图形面积可以用几种方法来解决：

1.特殊图形直接运用公式法，如三角形、平行四边形等，用面积公式直接求解.

2.非特殊图形可以运用割补法让图形变成特殊图形的组合：

割——将一个一般图形分割成几个特殊图形，求出每个图形的面积，再求几个图形的面积的和.

补——与其他特殊图形拼接成一个特殊图形，再求出每个特殊图形的面积，最后求差.

3.图形的特殊情况：(1)等积变形(等底等高)多采用平行线法构造图形；(2)利用相似图形的面积比=相似比的平方，求未知图形的面积.

方法剖析与提炼

例1抛物线y=ax2a≠0与直线

(1)点A的坐标及抛物线顶点C的坐标和对称轴；

(2)抛物线y=ax2与直线y=4x-3是否还有其他交点?若有，请求出这个交点B的坐标，并求点A，B，

【解答】(1)把点A(m,1)代入一次函数y=4x-3.

求出解析式，再求

顶点坐标.

(2)解方程组y=x2,y=4x-3.得

根据函数图象可知：ABC

【解析】先把点A(m，1)代入一次函数y=4x-3中求得点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线y=ax2a

【解法】代入法.二元方程组的解法.数形结合法.

【解释】(1)求两个函数图象交点坐标相当于解方程组，即求出同时满足两个函数解析式的点的坐标.

(2)在平面直角坐标系中求图形的面积，常用面积割补法，将图形转化为底、高分别与坐标轴平行的三角形或四边形，再计算而积.

例2如图,△ABC中,BC=AC=4,∠ACB=120°,E是AC上一个动点(与点A,C不重合),ED∥BC,求△CED面积的最大值.

【解答】作DF⊥AC于点F.∵BC=AC=4,∠ACB=120°,ED∥BC,∴∠ADE=∠B=∠A=30°,∠DEC=180°-∠ACB=60°,∴设AE=DE=x,则EF=12

∴

根据三角形

的面积求解.

∵x=2在范围0x4内,∴△CED面积的最大值为3

【解析】由于根据已知条件可证△ADE为等腰三角形,我们选设AE=DE=x,则CE=4-x,作DF⊥AC于点F,由于可求得∠DEC=60°,故DF=32x,从而可得S

【解法】函数建模.配方法.

【解释】求面积的最值过程需要利用设元并表示相关量后构建函数模型，并用配方法来求函数的最值，在求最值过程中要注意自变量的合理选定，以及求出最值后要注意检验与二次函数最值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内.

例3如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm.点M从A点开始沿AB边以1cm/s的速度向B点移动,点N从B点开始沿BC边以2cm/s的速度向C点移动.若M,N分别从A,B点同时出发,设移动时间为t(0t6),△DMN的面积为S.

(1)求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值；

(2)当△DMN为直角三角形时,求△DMN的面积.

【解答】(1)由题意可得AM=tcm,BN=2cm,则BM=(6-t)cm,CN=(12-2t)cm.

∵

∵t=3在范围0l6内,∴S的最小值为27.

根据另两个角可能为直角，分别讨论并构建方程.∴

∴

(2)当△DMN为直角三角形时,∵∠MDN90°,

当∠MND=90°时,.DM

∴122+t2=12-2t2+62+6-t2+2t2,

∴

【解析】根据几何图形的特殊性结合面积公式等构建二次函数模型.解此类问题时往往用到对图形的割或补(即运用割补法).根据实际问题中的线段必须为正数、三角形两边之和大于第三边等来确定自交量的取值范围.对于动点型问题，我们需要根据动点来列出函数解析式，根据二次函数的性质来求最值.

【解法】函数建模.配方法.割补法.

【解释】求面积的最值问题需要利用设元并表示相关量后构建函数模型，并运用配方法来求解.在求最值过程中要注意自变量的合理选定，以及求出最值后要注意检验与二次函数最值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内.

例4如图,抛物线y=x2-mx-3m0)交y轴于点C,CA⊥y轴,交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴于点

(1)用含m的代数式表示BE的长；

(2)当m=3时，判断点

(3)若AG∥y轴,交OB于点F,交BD于点G.

①若△DOE与△BGF的面积相等,求m的值.

②连结AE,交OB于点M,若△AMF与△BGF的面积相等,则m的值是.

【解答】(1)∵点C是抛物线与y轴的交点,∴点C的坐标为(0,-3).∵AC⊥OC,∴点A的纵坐标为-3.当y=-3时,-3-x2-mx-3,解得x=0或x=m.∴

∴BE=2AC=2m.

2∵m=3,∴点A的坐标为3-3,∴直线OA的