2024年中考数学复习-函数图象过定点的研究复习讲义.docx

函数图象过定点的研究复习讲义

知识理解与构建

有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数解析式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y=kx+b(k≠0),当b确定时,无论k取不等于0的任何值,它总过定点(0,b);抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，当c确定时，无论a，b

归纳基本的解题步骤：

1.将含有变系数的项集中；

2.将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；

3.令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化都“失效”了)；

4.解此方程，得到x的值x?(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，可得到一个y的值y?(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x?，y?)；

5.反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤.

方法剖析与提炼

例1求证：抛物线y=3-

【解答】整理抛物线的解析式，得：

y=3-

上式中令=0,得.x?=_,x?=

将它们分别代入y=3x2-2x-1-kx2-x-2;解得y?=,y?=,把点(-1,4),(2,7)分别代入

【解析】因为不论k取何值，函数均过某定点，所以思考的方向是将k前面的系数化为零，从而得到此题的解法.另外，此题也可以任意取两个k的值，然后列方程组求解.

【解法】代数式恒等变形.解一元二次方程.

【解释】对于函数图象过定点的问题，需要对函数解析式进行变形，令参数的系数为零，从而构建方程来解决.

例2(北京市西城区)无论m为任何实数，二次函数y=x2-2-

A.(1,3)B.(1,0)C.-1

【解答】解法一(特殊值法)：任意给m赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2..则函数解析式变为:

联立方程组y=x2

把x=1,y=3代入y=

所以，抛物线群y=x2|2mx

故应选A.

定点坐标与m的值无关，即关于m的一元一次方程am=b有

所以，无论m为何值时，恒满足①式，故该二次函数的图象恒过定点(1，3).

故应选A.

【解析】抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中的某两条特殊的抛物线也必过这一定点.定点坐标与m的值无关，即关于m的一元一次方程(am=b有

【解法】代数式恒等变形.解一元二次方程.主元法.特殊值法.

【解释】图象总过定点说明函数的取值与m的取值无关，所以把m看成元，其余看成常数，进行重新化简整合，含m项的系数为0得到关于x，y的方程(组)并求解.另一种思考就是m取不同的值得到不同的函数解析式，求出公共点.

例3已知二次函数的顶点坐标为-nm+n-m2m+n,与y轴的交点为(

(1)求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；

(2)在x轴上是否存在这样的定点：不论m，n如何变化，二次函数的图象总通过此定点?若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由.

【解答】(1)把-nm+n-m2m代入

∴m-nm+1=0,∴m=n或m=-1(舍去)，∴二次函数的顶点坐标为，与y轴的交点为.∵m为数，∴二次函数的顶点在第象限，而抛物线过原点，∴抛物线开口向上，

(2)存在.∵抛物线的对称轴为直线x=-12,抛物线与x轴的一个交点坐标为，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即不论m，n如何变化，二次函数的图象总通过点(

【解析】(1)把二次函数顶点坐标代入y=x+121-m得-nm+n+121-m=-m2m+n,整理后利用因式分解得到(m-n)(m+1)=0,则

(2)由(1)得到抛物线的对称轴为直线x=-12,抛物线与x轴的一个交点坐标为(0，0)，利用对称性得到抛物线与x轴的另

【解法】代入法.解一元二次方程.二次函数的性质.

【解释】解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.

能力训练与拓展

1.无论m为何实数，二次函数y=x2-2-

A.(1,3)B.(1,0)C.-1

2.对于关于x的二次函数y=ax

①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为2；③当a0时，函数在x1时，y随x的增大而减小；④当a0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.某数学兴趣小组的同学在研究二次函数y=m