2024年中考数学复习-建立函数模型解决实际问题复习讲义.docx

建立函数模型解决实际问题复习讲义

知识理解与构建

1.数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出的关于实际问题的数学描述.

2.数学建模就是把实际问题加以抽象概括建立相应的数学模型的过程，是用数学方法解决问题的关键.

3.实际应用问题建立函数关系式后一般都要考查定义域(即自变量的取值范围).

4.建立函数模型解决实际问题的一般步骤：

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

(2)建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

(3)解模：求解数学模型，得到数学结论；

(4)结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论.

方法剖析与提炼

例1(2016西宁)如图,在△ABC中,.∠B=90°,tanC=34,AB=6cm.动点P从A点开始沿AB边以1cm/s的速度向B点移动，动点Q从B点开始沿BC边以2cm/s的速度向C点移动.若

Λ.18cm2

C.9cm2

【解答】I∵tan

由题意得AP=t,BP=,BQ=.

∴BC=.

设△PBQ的面积为S,则S=12BP

∵P:0≤t≤6,Q:0≤t≤4,∴当t=时，S有最大值为,即当t=3时,△PBQ的最大面积为9

【解析】把tanC=34转化为边的关系，求SPBQ的关键是求得

【解法】函数建模.配方法.三角函数.

【解释】求面积的最值过程需要利用设元并表示相关量后构建函数模型，并用配方法来求函数的最值，在求最值过程中要注意自变量的合理选定，以及求出最值后要注意检验与二次函数最值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内.

例2数学兴趣小组的同学经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90,且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y元/件，每天的销售量为p件，每天的销售利润为ω元

时间x(天)

1

30

60

90

每天销售量p(件)

198

140

80

20

(1)求出v?与x的函数关系式;

(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大?并求出最大利润；

(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元?请直接写出结果.

【解答】(1)当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b(k,b为常数,且k≠0).∵y=kx+b经过点,,∴b=40,50k+b=90,解得k

当50x≤90时,y=90.

∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40(0≤x≤5090(50x

可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为(m,n为常数,且nm≠0),∵p=mx+n过点,,∴60m+n80,30m+n

当0≤x≤50时,w=(y-30)·p=(x+40-30)(-2x+200)=;

当50x≤90时,w=(90-30)(-2x+200)=.

w=-2x2+180x+2000(0≤x≤5(-

(2)当0≤x≤50时,w==-2x-452+6050,∵a=-240且0≤x≤50,∴

当50x≤90时,w=.∵k=-1200,w随x增大而减小,∴当x=时,w取最大值，最大值为元.

∴当x=时,ω最大,最大值为元.

即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元.

(3)当0≤x≤50时,令w=-2x2+180x+2000≥,即

当50x≤90时,令ω=≥5600,即-120x+6400≥0,解得.∵x为整数,∴50x≤53,53-50=3(天).

综上可知：21+3=24(天)，故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元.

【解析】当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为.y=kx+b,由点的坐标运用待定系数法可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50x≤90时,y=90..再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，代入数据运用待定系数法可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润

【解法】分类讨论.函数建模.配方法.待定系数法，一元一次不等式.

【解释】根据ω关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题.当0