西安交通大学医学信号处理第四章.ppt

设有一个线性系统，它的单位脉冲响应是　　，当输入一个观测到的随机信号　　，简称观测值，且该信号包含噪声　　和有用信号　　，简称信号，也即 　　　　　　　 我们希望输出得到的　　与有用信号　尽量接近，因此称　　为　　的估计值，用　　来表示　　 ，我们就有了维纳滤波器的系统框图 ．这个系统的单位脉冲响应也称为对于　　的一种估计器。 用当前的和过去的观测值来估计当前的信号　　　　称为滤波； 用过去的观测值来估计当前的或将来的信号　　　　 N=0　，称为预测； 用过去的观测值来估计过去的信号　　　　　　 ，N=1，称为平滑或者内插。 系统框图中估计到的　　信号和我们期望得到的有用信号　　不可能完全相同，这里用　　来表示真值和估计值之间的误差 　　　　　　　　　 (4-3) 显然　　是随机变量，维纳滤波的误差准则就是最小均方误差准则 　　　　　　　　　　　 (4-4) 4.１.1　维纳滤波器的时域解（Time domain solution of the Wiener filter） 设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小均方误差下滤波器的单位脉冲响应　　或传递函数　　的表达式，其实质就是解维纳－霍夫（Wiener－Hopf）方程。 我们从时域入手求最小均方误差下的　 用　　　表示最佳线性滤波器。这里只讨论因果可实现滤波器的设计。 4.１.１.1　因果的维纳滤波器 　设　　是物理可实现的，也即是因果序列： 因此，从式(4-1)、(4-2)、(4-3)、(4-4)推导： 　　　　　　　　　(4-5) 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 (4-6) 要使得均方误差最小，则将上式对各　　m＝0，1，…，求偏导，并且等于零，得： 　　　　　　　　　　　　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　 求到　　　，这时的均方误差为最小： 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 4.１.２有限脉冲响应法求解维纳－霍夫方程 设　　是一个因果序列且可以用有限长（N点长）的序列去逼进它，则式(4-5) －(4-10)分别发生变化： 　　　　　　　　　　　　　　　 (4-11) 　　　 　　　　　　　　　　　 (4-12) 于是得到N个线性方程： 写成矩阵形式有：　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 简化形式： 　　　　　RxxH=Rxs 　　　　　(4-17) 式中，H＝[h(0) h(1) …h(N-1)]′是待求的单位脉冲响应 　 　　　　　RxxH=Rxs 只要Rxx是非奇异的，就可以求到H： 　　　　　H=Rxx－1＊Rxs 　　　 求得H后，这时的均方误差为最小： 进一步化简得：　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 若信号与噪声互不相关，即， 【例4-1】如图，　　　　　　　，信号与噪声统计独立，其中 　　　　 噪声是方差为1的单位白噪声，试设计一个N＝2的维纳滤波器来估计　　，并求最小均方误差。 解：依题意，已知信号的自相关和噪声的自相关为：　　　　　　　　　　　代入式 4.１.３预白化法求解维纳－霍夫方程 4.１.３预白化法求解维纳－霍夫方程 随机信号都可以看成是由一白色噪声　激励一个物理可实现的系统或模型的响应，如图4.2所示 ． 　　　　　图4.2 s(n)信号模型 　　 由于　　　　　　　，在图4.2的基础上给出的信号模型，图4.3所示。把这两个模型合并最后得到维纳滤波器的信号模型，图4.4所示，其中传递函数用B（z）表示。 　　　　　图4.3 x的信号模型 　　　　图4.4 维纳滤波器的输入信号模型 白噪声的自相关函数为　　　　　　　它的z变换就等于　。图4.2中输出信号的自相关函数为　　，根据卷积性质有 　　　　　　　　　　　　　　　(4-22) 对式（4－22）进行Z变换得到系统函数和相关函数的z变换之间的关系： 　　　　　　　　　 　(4-23) 　同样，对图4.4进行z变换得 　　　　　　　　 　 (4-24) 图4.4中利用卷积性质还可以找到互相关函数之间的关系：