离散数字信号处理第四章.pdf

第5章 最佳滤波 • FIR维纳滤波器设计及应用； • IIR维纳滤波器设计，包括因果维纳滤 波器设计和非因果维纳滤波器设计； • Kalman滤波器； 文中出现错误的地方。 最佳滤波问题 • 目的是从带噪的观测 中来尽可能恢复期 望信号d(n) 。如果以最小均方误差准则来设计滤波器 维纳滤波器的分类依赖于x(n)和d(n)的关系： • 滤波：用因果滤波器从x(n) 中来估计d(n)； • 预计：用因果滤波器来预计未来的x(n+1) 的值； • 平滑：用非因果滤波器来估计d(n)； Norbert Wiener 5.1 FIR维纳滤波器设计 假定x(n)和d(n)是宽平稳随机过程，采用p －1阶FIR滤波器来估计 最小化均方误差准则： 根据最优化理论，对参数求导为： 可获得正交原理： 5.1 FIR维纳滤波器设计 把误差的表达式代入，并展开： 写成矩阵形式： 这就是著名的Wiener-Hopf方程： 5.1 FIR维纳滤波器设计 把最佳解代入均方误差，可得最小均方误差为： 根据正交原理： 或： 5.1.1 FIR维纳滤波器的应用－滤波 从带噪的观测中 来估计d(n)，如果噪声是零 均值且和d(n)不相关， Wiener-Hopf方程的形式为： 举例：从方差为 的白噪声中用1阶FIR滤波器来估计 5.1.1 FIR维纳滤波器的应用－滤波 最小均方误差为： 例如： 维纳滤波器能提高输出 的信噪比(见教材)。上图 为W,下图为Pd。 5.1.2 FIR维纳滤波器的应用－线性预计 用当前观测值和以前的 观测值来预计未来值 等价于维纳滤波问题中的 只需要知道自相关序列即可 5.1.2 FIR维纳滤波器的应用－线性预计 Wiener-Hopf方程为 对前面的例子，如 果采用线性预计 5.1.2 FIR维纳滤波器的应用－线性预计 包含噪声的观测数据中线性预计x(n+1) 的值 对应的Wiener-Hopf方程 在特殊条件下：如果信号和噪声不相关 5.1.2 FIR维纳滤波器的应用－线性预计 多步预计问题： 唯一的差别是互相关向量不同 5.1.2 FIR维纳滤波器的应用－噪声抵消 期望信号为： 与滤波问题的差别在于噪声的相关信息 是通过次级传感器来获得的。 滤波器的输入为： 如果假定噪声和信号不相关 5.1.2 FIR维纳滤波器的应用－噪声抵消 举例： 2个噪声是同一噪声源由不同的系统获得的 分别用6阶和12阶滤波器的结果 5.1.2 FIR维纳滤波器——总结 • FIR维纳滤波器的根本在于，确定期望信号 d(n)是什么，FIR滤波器的输入是什么。 • 在确定上述因素后，计算输入的自相关矩 阵，输入和期望的互相关向量来确定最佳 的权系数。 • 结合上面2条重新分析前面讨论的内容。 5.2 IIR维纳滤波器设计 IIR与FIR设计的重要差别：IIR 的滤波器系数长度是无穷个。 2个设计类型： 非因果IIR维纳滤波器，因果IIR维纳滤波器 IIR非因果维纳滤波器设计： 注意：此时的正交原理要求对所有的k都成立。 5.2.1 非因果IIR维纳滤波器设计 非因果IIR维纳滤波器的Wiener-Hopf方程为： 要求输入信号的功率谱不 能为零！也可以说明是非 如果在频域内表示： 因果的。 对应的最小均 方误差为： 5.2.1 非因果IIR维纳滤波器设计 例子：用非因果IIR维纳滤波器做平滑滤波： 需要知道或计算自功率谱或互功率谱： 最小均方误差为： 注意解释最佳滤波器的物理含义：在信号强或弱