3.1.4空间向量基本定理.ppt

* * 空间向量的正交分解 练习巩固 答案 练习2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 答案 答案 广东省阳江市第一中学周如钢 知识要点2 例1 例1答案 例1答案2 例2 例2答案 * 空间向量基本定理 在解题中的应用(习题课) 前面我们定义了空间向量的加、减 、数乘、数量积四种运算，从而空间的有关问题可以转化为空间向量的这四种运算来处理. 空间向量基本定理的应用(习题课) 另外，我们还发现类似平面向量基本定理，空间也有空间向量基本定理，也就是说：已知三个不共面向量，那么对于空间任一向量，都存在有序实数组，使得，而这种表示式是唯一的. 把叫做空间的一个基底,叫做基向量. 这样空间的有关问题就转化为了三个基向量的运算问题,这将会使问题更容易处理,而且方向性强. 如果基向量是空间三个两两垂直的向量,那么对空间任一向量,存在一个有序实数组使得. 把分别称为向量在上的分向量,这种分解我们把它叫做空间向量的正交分解. 显然这种正交分解更有利于我们的问题解决,因为关于这些分向量的数量积运算非常简单. 下面通过一些练习来体会这种方法. 练习1.已知空间四边形的四条边及的长都等于,点分别是的中点,且,,, ⑴用表示; ⑵求. 分析: ⑴这种表示式的寻找,只要结合图形,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可. ⑵运用⑴的结果,可以把的计算转化为基向量的有关运算来处理,而且不用添辅助线及作证明. 练习1.已知空间四边形的四条边及的长都等于,点分别是的中点,且,,, ⑴用表示; ⑵求. 略解:⑴ = = ⑵易知,,∴ 练习2.在长方体中,,, ,且记,,, ⑴用表示; ⑵求异面直线和所成角的余弦值. 解:⑴= ⑵∵,, ∴-32 ,, ∴异面直线和所成角的余弦值为 思考1.已知是边长为的正三角形所在平面外一点，且，分别是，的中点，求异面直线与所成角的余弦值 分析：要求异面直线与所成角的余弦值，只要求与所成的角的余弦值. 而适当选取一组基底,可把关于与的计算转化为基向量的有关运算来简便处理. 解：设，，，则， ∵ ， 所以，异面直线与所成角的余弦值为． ∴， 点评：设出空间的一个基底后，求数量积的时候目标就更加明确了，只要将与都化为用基向量表示就可以了本题中与的夹角是异面直线与所成角的补角 思考2: 如图，长方体中，，为与的交点，为与的交点，又，求长方体的高． 分析：本题的关键是如何利用这个条件. 在这里可利用 将其转化为向量数量积问题 而适当选取一组基底,又可把的计算转化为基向量的有关运算来简便处理. 解: 设， 则， 则 ＝ ∵ ∴＝0 即[][]＝0∴ ∴，即所求高． 点评：本题从表面上看是求线段长度，但实际上却是充要条件：的应用问题 学习小结: 通过问题解决,可以看到适当地选取基底,空间向量都可用基向量来表示,这样不仅可以使解题的目标变得明确,思考的方向性强,而且有关的运算也将会简化. 作业:课本第10题