复合函数的定义域和解析式.doc

PAGE PAGE 15 复合函数的定义域和解析式 1、复合函数的定义 设是到的函数，是到上的函数，且，当取遍中的元素时，取遍，那么就是到上的函数。此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数。 说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。 ⑵称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。 ⑶与表示不同的复合函数。 例1．设函数，求． ⑷若的定义域为，则复合函数中，． 注意：的值域． 例2．（课时练 2 例1） ⑴若函数的定义域是[0，1]，求的定义域； ⑵若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域； ⑶已知定义域是，求定义域． 点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的． 解答： ⑴ 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数． 函数的定义域是[0，1]， ∴B=[0,1]，即函数的值域为[0，1]． ∴， ∴，即， ∴函数的定义域[0，]． ⑵ 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数． 的定义域是[-1，1]， ∴A=[-1,1]，即-1， ∴,即的值域是[-3，1]， ∴的定义域是[-3，1]． 点评：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数 的值域。 ⑶ 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数． 的定义域是[-4，5), ∴A=[-4,5)即， ∴即的值域B=[-1，8） 又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数，而,从而的值域 ∴ ∴ ∴ ∴的定义域是[1，）． 例3．已知函数定义域是（a,b），求的定义域． 解：由题，，， 当，即时，不表示函数； 当，即时，表示函数， 其定义域为． 说明： ① 已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法： 已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。 ② 已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法： 若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。 2．求有关复合函数的解析式 例4．①已知 求； ②已知 ，求． 例5．①已知 ，求； ②已知，求． 点评： 已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。 已知求的常用方法有：配凑法和换元法。 配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。 换元法就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得。 例6．①已知是一次函数，满足，求； ②已知，求． 点评： ⑴ 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。 ⑵ 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，如、等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出。 三、课堂练习： １．已知，求和． 解：令，设， 令，设， ． ２．已知，求． 分析：是用替换中的而得到的，问题是用中的替换呢，还是用替换呢？所以要按、分类； 注：是用替换中的而得到的，问题是用替换中的呢，还是替换呢？所以要看还是，故按、分类。 Key:； 注：。 四、课堂小结： １．复合函数的定义； 设函数，，则我们称是由外函数和内函数复合而成的复合函数。其中被称为直接变量，被称为中间变量。复合函数中直接变量的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量的取值范围，即是的值域，是外函数的定义域。 ２．有关复合函数的定义域求法及解析式求法： ⑴定义域求法： 求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由解）；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围（由求的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。 ⑵解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法． 五、附录：求函数的定义域的主要依据有： ⑴ 当为整式或奇次根式时，R； ⑵ 当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）； ⑶ 当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0； ⑷ 当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。 ⑸ 当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。 ⑹ 分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。 ⑺ 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求 ⑻ 对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。 ⑼ 对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。 例说函数值域求法 在函数的