2024年新教材高中数学第十章概率2事件的相互独立性学案新人教A版必修第二册.doc

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事务的相互独立性

掷一枚骰子一次，设事务A：“出现偶数点”，事务B：“出现3点或6点”．

【问题1】事务A与事务B是互斥事务吗？

【问题2】事务A与事务B发生的概率分别是多少？事务AB发生的概率呢？

【问题3】事务A的发生会影响事务B的发生吗？

1．相互独立事务

对随意两个事务A与B，假如P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事务A与事务B相互独立，简称为独立．

2．相互独立事务的性质

假如事务A与B相互独立，那么A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也相互独立．

对相互独立事务的理解

1．本质：在相同条件下进行的两个随机试验A与B，事务A的发生不会影响事务B的发生．

2．混淆：相互独立事务与对立事务的区分：

两个事务互斥是指两个事务不行能同时发生；两个事务相互独立是指一个事务的发生与否对另一事务发生的概率没有影响．

一般地，两个事务不行能既互斥又相互独立，因为互斥事务不行能同时发生，而相互独立事务是以它们能够同时发生为前提．

3．相互独立事务同时发生的概率公式的推广：

假如事务A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事务同时发生的概率等于每个事务发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An

4．相互独立事务与互斥事务的概率计算：

概率

A，B互斥

A，B相互独立

P(A∪B)

P(A)＋P(B)

1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))

P(AB)

0

P(A)P(B)

P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))

1－[P(A)＋P(B)]

P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))

P(Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)

P(A)＋P(B)

P(A)P(eq\x\to(B))＋

P(eq\x\to(A))P(B)

【说明】①(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)，表示的是Aeq\x\to(B)与eq\x\to(A)B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生．

②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事务的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)可简写为Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B.

必定事务与任何一个事务相互独立吗？

提示：相互独立．必定事务的发生与任何一个事务的发生没有影响．

1．相互独立事务就是对立事务吗？

2．“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事务A，B相互独立”的充要条件吗？

3．假如事务A与B相互独立，那么事务eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也相互独立吗？

提示：1.不是；2.是；3.是．

教材P246“探究”中试验1，若B事务改为“其次枚硬币也正面朝上”，事务A与事务B是相互独立事务吗？

提示：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，共包含4个样本点，A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，1)，(0，1)}，AB＝{(1，1)}，所以P(A)＝P(B)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,4)，P(AB)＝P(A)P(B)，事务A与事务B是相互独立事务．

1．若P(AB)＝eq\f(1,8)，P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(1,2)，则事务A与B的关系是()

A.事务A与B互斥

B.事务A与B对立

C.事务A与B相互独立

D.事务A与B既互斥又独立

【解析】选C.因为P(AB)＝P(A)P(B)，所以事务A与B相互独立．

2．甲、乙两水文站同时作水文预报，假如甲站、乙站各自预报的精确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都精确的概率为________．

【解析】由题意知两个事务为相互独立事务，则甲、乙两站预报都精确的概率为0.8×0.7＝0.56.

答案：0.56

基础类型一相互独立事务的推断(数学抽象)

1．甲、乙两名射击手同时向一目标射击，设事务A：“甲击中目标”，事务B：“乙击中目标”，则事务A与事务B()

A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立

C.相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥

【解析】选A.对同一目标射击，甲、乙两射击手是否击中目标是互不影响的，所以事务A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射击手可能同时击中目标，也