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Ch5. 常微分方程数值解法 §1. 引言 1. 问题的提出 假设一阶微分方程初值问题中的关于满足Lipschitz条件，，使得，则由常微分方程理论知，初值问题有唯一解。 除了一些特殊类型的方程外，许多微分方程都没有解析解。 2. 数值解法的基本思想——离散化 计算解在离散点上值的近似值，。 3. 几个基本概念 (1) 单步法与多步法 若计算时只用到，则称这种方法为单步法，如；若计算时需用到，则称这种方法为多步法。 (2) 显式与隐式可以直接用表示，则称此计算公式为显式§2. Euler方法 1. Euler公式 将在上积分，，得，用数值积分法求。 (1) ，得。 Euler公式 (2) ，得。 后退的Euler公式 (3) ， 得。 梯形公式（隐式） 2. 改进的Euler公式 Euler公式计算简便，但精度差，梯形公式为隐式，计算较复杂，但精度较高，可将两者结合。 ， 称为改进的Euler公式，上式也可写为 。 例1 用Euler公式和改进的Euler公式求解初值问题 。 解 (贝努里方程，)， 。由，得，从而。 Euler公式：。 改进的Euler公式：。 x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Euler 1.100 1.192 1.277 1.358 1.435 1.509 1.580 1.650 1.717 1.785 Euler改 1.096 1.184 1.266 1.343 1.416 1.486 1.553 1.616 1.678 1.738 准确 1.095 1.183 1.265 1.342 1.414 1.483 1.549 1.612 1.673 1.732 §3. Runge-Kutta方法 1. Taylor级数方法与阶 对，有Taylor级数，将此级数截断，并用代替，得阶Taylor公式 。 显然截断误差为。 定义 若某方法的截断误差为，则称此方法精度为阶。 2. Runge-Kutta方法基本思想 ， ， ——平均斜率。 (1) 取，即为Euler公式； (2) 取，即为后退的Euler公式； (3)，即为梯形公式。 借用Taylor级数法的思想，将中的(平均斜率)表示为在若干点处值的线性组合，通过选择组合系数使公式达到一定的阶。 3. 二阶Runge-Kutta方法 选为在某两点处值的线性组合，即，其中 ，，待定。 将代入，得 。 将上式与二阶Taylor公式对比，得（*）。 根据Euler公式， ，代入得，，其中满足（*）式，称之为二阶Runge-Kutta公式。 特别地，当时， ——改进的Euler公式。 4. 四阶Runge-Kutta方法 三阶Runge-Kutta方法较少使用，仿二阶Runge-Kutta方法，可得四阶Runge-Kutta公式。经典的四阶Runge-Kutta公式为 。 特点 ①单步、自开始；②精度高，误差为，四阶；③数值稳定；④要计算四次函数值；⑤对解的光滑性要求高。 例2 用经典的四阶R-K公式求解初值问题。 Euler公式计算结果 改进的Euler公式计算结果 四阶Runge-Kutta公式计算结果 §4. 单步法的收敛性与稳定性 1. 收敛性 定义1 若某数值解法对固定的，当时（此时）， ，则称此方法收敛。 例3 对典型方程考察Euler方法的收敛性。 解 Euler公式为。 ，而，即，故收敛。 例4 用梯形方法解初值问题，证明其近似解为，并考察它的收敛性。 解 显然，初值问题的解为。 ， ， ，故方法收敛。 定理 若数值方法中的关于满足Lipschitz条件，则该方法收敛。 2. 稳定性 定义2 若某方法在节点值上有大小为的摄动，而其后各节点上的误差均不超过，则称此方法是稳定的。 例5 对方程考察Euler公式和后退的Euler公式的稳定性。 解 对应的Euler公式为。 若在上有摄动值，而它使产生的摄动值为，则 。 显然，即时，Euler公式稳定，称之为条件稳定。 后退的Euler公式为，，而，即后退的Euler公式无条件稳定。 .页眉. .