2018年常微分方程的数值解法1.doc

常微分方程的数值解法 　　在自然科学的许多领域中，都会遇到常微分方程的求解问题。然而，我们知道，只有少 　　数十分简单的微分方程能够用初等方法求得它们的解，多数情形只能利用近似方法求解。在 　　常微分方程课中已经讲过的级数解法，逐步逼近法等就是近似解法。这些方法可以给出解的 　　近似表达式，通常称为近似解析方法。还有一类近似方法称为数值方法，它可以给出解在一 　　些离散点上的近似值。利用计算机解微分方程主要使用数值方法。 　　我们考虑一阶常微分方程初值问题 　　dy,,f(x,y) , dx,,,y(x)y,00 　　在区间[a, b]上的解，其中f (x, y)为x, y的已知函数，y为给定的初始值，将上述问题的精确0解记为y(x)。数值方法的基本思想是：在解的存在区间上取n + 1个节点 　　a,x,x,x,？,x,b012n 　　这里差，i = 0,1, ?, n称为由x到x的步长。这些h可以不相等，但一般取h,x,xii+1iii，1i 　　b,a成相等的，这时。在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分。泰勒h,n 　　展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。把这个相应问题的解y作为y(x)nn 　　的近似值。这样求得的y就是上述初值问题在节点x上的数值解。一般说来，不同的离散nn化导致不同的方法。 　　　　1 　　　　1. 　　1．对常微分方程初始问题 　　dy,,fx(y,) (9.1), dx, 　　,() (9.2)yx,y00, 　　　　用数值方法求解时，我们总是认为(9.1)、(9.2)的解存在且唯一。 　　欧拉法是解初值问题的最简单的数值方法。从（9.2）式由于y (x) = y已给定，因而可00以算出 　　y(x),f(x,y) 000 　　设x = h充分小，则近似地有： 1 　　y(x),y(x)10 ,y(x),f(x,y) (9.3) 000h 　　y,y(x) i,0,1,？,nii 　　从而我们可以取 记 　　y,y,hf(x,y)1000 　　作为y (x)的近似值。利用y及f (x, y)又可以算出y(x)的近似值： 11112 　　y,y，hf(x,y)2111 　　一般地，在任意点x = (n + 1)h处y(x)的近似值由下式给出 n+1 　　（9.4） y,y，hf(x,y)n，1nnn 　　这就是欧拉法的计算公式，h称为步长。 　　不难看出，近似解的误差首先是由差商近似代替微商（见(9.3)）引起的，这种近似代替所产生的误差称为截断误差。还有一种误差称为舍入误差，这种误差是由于利用（9.4）进 　　行计算时数值舍入引起的。 　　9.1 用欧拉法求初值问题 　　　　0.9,y,,y(9.5), 1，2x, 　　,y(x),1x,0(9.6)00, 　　当h = 0.02时在区间[0, 0.10]上的数值解。 　　0.9 把代入欧拉法计算公式。就得 f(x,y),,y1，2x 　　0.9y,y,hyn，1nn1，2xn ,,0.018,,,1,yn,0,1,？,5n,,1，2xn,, 　　具体计算结果如下表： 　　　　n xyy(x) = y(x) - y,n n nnnn 　　0 0 1.0000 1.0000 0 　　1 0.02 0.9820 0.9825 0.0005 　　2 0.04 0.9650 0.9660 0.0005 　　3 0.06 0.9489 0.9503 0.0014 　　4 0.08 0.9336 0.9354 0.0018 　　5 0.10 0.9192 0.923 0.0021 　　在上表中y(x)列，乃是初值问题（9.5）、（9.6）的真解 n 　　,0.45 y(x),(1，2x) 　　在x上的值。为近似值y的误差。从表中可以看出，随着n的增大，误差也在增大，所,nnn 　　以说，欧拉法计算简便，对一些问题有较大的使用价值，但是，它的误差较大，所得的数值 　　解精确度不高。 　　2 　　为了构造比较精确的数值方法，我们从另一角度重新分析一下初值问题。一般说来，一x （9.7） y(x),y，f(t,y(t))dt阶方程的初值问题与积分方程 0,x0 　　是等价的，当x = x时， 1 　　x1 （9.8） y(x),y，f(t,y(t))dt10,x0 　　要得到y(x)的值，就必须计算出（