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* 《数值计算方法》课程简介 数值计算方法—研究并解决数学问题近似解的方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法。 计算对象—在理论上有解而难于或无法用手工完成计算的数学问题。 应用领域—广泛用于科学研究和工程技术，如地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报、汉字字样设计、数码成像技术等等。 课程特点—既有严密的理论性，又具很强的实践性，所构造的方法要由计算机来实现。 先行课程—高等数学、线性代数、高级语言 * 1、建立数学模型： 表现形式多种多样：函数关系式、方程组、积分计算式、微分计算式等 2、选择数值计算方法： 为数学模型选择合适的数值计算方法以用于编程和计算，要考虑：方法能否达到要求的精度、计算量是否太大、程序能否实现、对数据的微小扰动其反应是否敏感。 数 值 计 算 的 内 容 、 方 法 与 算 法 * 3、编写程序：（采用各种高级语言或工具软件） 4、上机运行：根据计算结果检查所选计算方法是否合理或编程考虑是否不周，甚至检查数学模型的合理性。 《数值计算方法》研究数值计算问题，即对已有数学模型探讨面向计算机的各种方法及其使用条件和理论依据，并给出相应的算法，由计算机得到具体问题的数值近似解。 * 研究数值计算方法的必要性： 很多数学问题在理论上严密、有精确解，但实际计算时或者没有计算公式，或者套用计算公式无法完成计算，或者根本无法得到其精确解。例如： 问题1 求非线性方程cosx-x=0的根（无求根公式）； 问题2 求解一个20阶线性方程组（克莱姆法则?）； 问题3 求解下面的定积分（找不到原函数）： * 数值计算方法： 把对数学问题的解法归结为有限次数加减乘除等基本运算并有确定运算顺序的完整、准确、有效的描述，称为数值计算方法。 算法： 研究数值计算方法的软件实现的问题。即用流程图、数学语言或自然语言、计算机语言（计算机程序）对数学问题的数值计算方法作出准确的描述。 * * 1、递推法： 由给定初始数据逐步递推出待求结果数据。 例如，求解下面的n次多项式： 方法之一： 直接按表达式计算。考虑原始数据a0,…,an及x,…,xn分别存储，则共需2n+1个存储单元； 计算量：主要考虑乘除法次数，为2n-1次。 * 方法之二： 秦九韶法（霍纳法），将P(x)写成如下形式： 采用递推法计算，用递推公式表示计算过程： bn=an，bi=ai+bi+1x，i=n-1,…,1,0 所需存储单元：n+2个；乘法次数为n。 * 秦九韶递推算法表示如下： INPUT n ，n+1 个系数a (i)，（i =0,1,2,…, n, ），x的值 OUTPUT 多项式的值p (x)。 Step1 b = a (n) Step2 For i =n-1 DownTo 0 b=a (i) +bx End For i Step3 OUTPUT （ ‘p (x)=’ , b） STOP 2、迭代法：迭代法也称为逐次逼近法。迭代法的使用是为了逐次改进前面的计算结果，使之按给定的精度逼近于问题的准确解。 * 例如求非线性方程f(x)=0的根，可将方程改写为等价形式 x=g(x)，以形成迭代格式： xk+1=g(xk) 3、以直代曲 （将复杂的曲线问题转化为直线问题求解） 例如：牛顿迭代法求非线性方程的根。所求根本来是曲线f(x)=与x轴的交点，但可近似处理为曲线的切线（直线）与x轴的交点来求解。 给定初始值x0，计算x1=g(x0) , x2=g(x1) ，……， 直到|xk+1-xk|?（给定精度控制量），xk+1即为近似根。 * y y=f(x) o 牛顿迭代法 x* x3 x2 x1 x0 x 牛顿迭代公式为： 几何意义： 从初值x0出发，过点(xk,f(xk))作曲线f(x)的切线，得到与x轴的交点xk+1,以逐步逼近根x*。 * 4、以差商代微商（导数）：如果无法按常规方法求导函数精确值，则可根据导数定义 取差商 近似替代 * 5、化整为零（将连续问题离散化）：如定积分的计算，当被积函数的原函数无法求得或被积函数为表格函数（无解析表达式）时，就应做离散处理。 x y o y=f(x) a b xi xi+1 可将[a , b]等分成n 个小区间 [xi , xi+1]，其中xi =a+ih，x0=a， xn=b，i=0,1,…,n-1，h=(b–a)/n ，在每个小区间上以直代曲。 * 6、外推法（Richardson外推思想的应用） （在《数值微积分》中详述） 注意：以上6种思想方法并非万能，均有其使用