第4章、静态场边值问题的解法.ppt

例1 假设真空中在半径为a的球面上有面密度为σ0cosθ的表面电荷，其中σ0是常数，求任意点的电位。 解： 球面上的边界条件为 ① r=a, φ1=φ2 ② r=a, 球面上的边界条件为 ① r=a, φ1=φ2 ② r=a, 使用勒让德多项式的唯一性，即将区间［-1, 1］内的函数可以唯一的用勒让德多项式展开，并考虑P1(cosθ)=cosθ，得 (r≤a) (r≥a) 一 几个实例 求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位 非均匀感应电荷 非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代 等效电荷 4.6 镜像法 接地导体球附近有一个点电荷，如图 等效电荷 非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代 二 镜像法原理 镜像法的目的：把原问题中包含典型边界的场的计算问题化为无限大均匀媒质空间中的问题求解，达到简化求解的目的. 镜像法基本思路：在求解域外的适当位置，放置虚拟电荷等效替代分界面上导体的感应面电荷或媒质的极化面电荷的作用. 分界面对空间的电位由镜像电荷等效后，取消分界面对问题进行分析. 1 电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程） 2 电位分布仍满足原边界条件 镜像电荷位置选择原则： 1 镜像电荷必须位于求解区域以外 2 镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件 镜像法理论依据：唯一性定理 . 由唯一性定理：满足同一方程和同样边界条件的电位分布的解是相同的，所以引入像电荷（等效电荷）后，应该有 例 1 求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为 处的点电荷 的电位。 三 静电场中的镜像法 １平面边界的镜像法 解： 当 时， ； 当 时， ； 当 时， 由 可得导体表面的面电荷密度： 导体表面总的感应电荷： 例2 如图所示， 为无限大接地的导电（ ）平面（电壁） ，在 处有一无限长均匀带电的细直导线，导线与 轴平行且经过直角坐标（ ）点，求上半空间（ ）的电位函数. 解： 电壁的作用可以等效为：镜像位置 处的镜像线电荷. 设细直导线的电荷密度为 ，则镜像线电荷密度为 . 带电体系在空间的电位为 式中 不能选为无穷远点. 例3 设介电常数分别为 和 的两种介质，各均匀充满半无限大空间，两者的分界面为平面，在介质1中有一点电荷 ，距分界面的距离为 ，如图所示. 试求整个空间中任一点的电位函数. 两个区域的电位函数 ( ) 和 ( ) * * 第4章、静态场边值问题的解法 4.1 问题的分类 4.2 唯一性定理 4.3 直角坐标系中的分离变量法 4.4 圆柱坐标系中的分离变量法 4.5 球坐标系中的分离变量法 4.6 镜像法 4.7 有限差分法（略） 第一类边值问题： 已知电位函数在全部边界面上的分布值 边值问题是指存在边界面的电磁问题． 根据给定边界条件对边值问题分类： 4.1 问题的分类 给定导体上的总电量亦属于第二类边值问题． 第二类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法向导数值 第三类边值问题：已知一部分边界面上的电位函数值， 和另一部分边界面上电位函数的法向导数． 一、格林定理 令 高斯散度定理 4.2 唯一性定理 这就是格林第一定理（第一恒等式） 把　和　交换位置 这就是格林第二定理（第二恒等式） 唯一性定理:在场域V的边界面S上给定电位 或 的值,则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内的解唯一 . 说明:若对同一面积,同时给定 或 的值,则不存在唯一解. 唯一性定理的意义 指出了静态场边值问题具有唯一解的条件. 为静态场边值问题求解方法提供了理论根据,为结果正确性提供了判据. 唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的理论根据 二、唯一性定理 设在区域V内， 和 满足泊松方程，即 在V的边界S上， 和 满足同样的边界条件， 即 三、唯一性定理的证明 令 在S上 令 在边界面S上 令 4.3 直角坐标系中的分离变量法 在直角坐标系中， 拉普拉斯方程为 设 可以表示为三个函数