电磁场与波边值问题的解法.ppt

应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解三种解的特点：第一种解中，X(x)和Y(y)为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零点；第二种解中，X(x)为三角函数，有多个零点，Y(y)为双曲函数，最多只有一个零点；第三种解中，X(x)为双曲函数，最多有一个零点，而Y(y)为三角函数，有多个零点。第30页,共38页，星期六，2024年，5月解:选直角坐标系，电位函数满足二维拉普拉斯方程边界条件：例：一接地金属槽如图所示，其侧壁和底壁电位均为零，顶盖与侧壁绝缘，其电位为U0，求槽内电位分布。第31页,共38页，星期六，2024年，5月设，代入式(1)中得:根据边界条件(2)与(3)可知，函数X(x)沿x方向有两个零点，因此X(x)应为三角函数形式，又因为X(0)=0，所以X(x)应选取正弦函数，即由边界条件(3)得：第32页,共38页，星期六，2024年，5月对应的Y(y)函数为双曲函数，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式为此时，电位可表示为由边界条件(5)知第33页,共38页，星期六，2024年，5月对上式两边同乘以，再对x从0到a进行积分，即第34页,共38页，星期六，2024年，5月满足边界条件的特解为：第35页,共38页，星期六，2024年，5月3.5有限差分法

原理：把求解区域划分为网格，把区域内连续的场分布用离散的数值解代替。

第36页,共38页，星期六，2024年，5月要求掌握边值问题的概念，了解边值问题的分类掌握泊松方程、拉普拉斯方程理解唯一性定理理解镜像法原理，熟悉典型的像电荷分布理解分离变量法原理，熟悉分离变量法求解步骤了解有限差分法第37页,共38页，星期六，2024年，5月感谢大家观看第38页,共38页，星期六，2024年，5月**直接求借**Bosong**一为r，一为z。**当c点位于不同位置关于电磁场与波边值问题的解法3.1边值问题的提法(分类)3.1.1边值问题的分类1狄利克雷问题：给定整个场域边界面S上各点电位的（函数）值2聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导数值3混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合另外，若场域在无限远处，电荷分布在有限区域，则有自然边界条件若边界面是导体，边界条件转变为已知一部分导体表面的电位或另一部分导体表面的电荷量。第2页,共38页，星期六，2024年，5月3.1.2泊松方程和拉普拉斯方程1泊松方程(Poisson‘sEquation)在线性、各向同性、均匀的电介质中，称之为静电场的泊松方程，它表示求解区域的电位分布取决于当地的电荷分布。2拉普拉斯方程(LaplacesEquation)电荷分布在导体表面的静电场问题，在感兴趣的区域内多数点的体电荷密度等于零，即ρV=0，因而有▽2φ=0称为拉普拉斯方程。第3页,共38页，星期六，2024年，5月例1:已知无限长同轴电缆内、外半径分别为和，如图所示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为，外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。解：根据轴对称的特点和无限长的假设，可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，采用圆柱坐标系积分由边界条件则：第4页,共38页，星期六，2024年，5月3.2唯一性定理1定理内容在静电场中，每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的，即静电场的唯一性定理。2证明过程利用反证法来证明在第一类边界条件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。设在给定边界上的电位时，拉普拉斯方程有φ1和φ2两个解，由于拉普拉斯方程是线性的，两个解的差φ′=φ1-φ2也满足方程第5页,共38页，星期六，2024年，5月考虑一个由表面边界S包围的体积V，由格林第一定理令得φ′及其法向导数在边界S上的值为零因为又因为边界条件，得常数=0在闭合曲面S上，φ1和φ2都满足给定的边界条件，即或第6页,共38页，星期六，2024年，5月3.1.3静电场边界值问题的间接解法唯一性定理边值问题数值法解析法分离变量法镜像法有限差分法第7页,共38页，星期六，2024年，5月3.3镜像法理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。镜像：暂时忽略边界的存在，在所求区域之外放置一个或多个虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，