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第五章 静态场的边值问题.ppt

发布:2017-08-13约7.07千字共70页下载文档
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④ 故这两个点电荷在球外区域产生的位就是原问题的解,即 所以 例5.5 将例题5.4的边界条件改成 求圆筒内的电位分布函数。 解:由问题对称性可知,电位与变量 无关,因此应取 和 应该取成在零点处为零值的正弦函数 并考虑到电位在r=0处为 的形式为 。因此电位函数的通解为 有限值, 将边界条件 代入上式,得 上式两边同乘以 ,从0~b对z积分,由三角函数的正交性,得 代回原式,得到 三. 球面坐标系中的分离变量法 球面坐标系中拉普拉斯方程的表达式为 令 代入上式,并两边同乘以 ①变量的分离 得 引入 - m2分离 引入 n(n+1)分离r 分离θ ②解的选取 时 对于 时 对于 解只有一种形式 时 时 时 对于 分别称为第一类和第二类连带勒让德函数 分别称为第一类和第二类勒让德函数 ③本征解的叠加构成通解 例5.6 在均匀电场中放入一半径为a的接地导体球。 求任意点的电位和电场强度 解:①取球心位于坐标原点, 电场方向为极轴方向,建立球坐标系 ②根据边界条件,求出通解 与 无关,取m = 0, 所求场域包括 ,故只含有第一类勒让德多项式 r 0 E v x a 0 e P z y o q 电位通解可以写成 ③根据边界条件确定电位 因为导体球接地,所以球内 在球外,电位包括均匀电场和导体球两部分的贡献 均匀电场的电位 因为 感应电荷的电位 因为 时, 故总电位 利用导体球的边界条件 ,得 不含 rn 项 由勒让德多项式的正交公式可得 ④根据电位求电场 因此球外电位是 可见,感应电荷对场的贡献相当于一个沿z轴放置的电偶极子,这是由于球面感应电荷的分布恰好是上正下负之故。 例5.6 略 §5.3 镜像法 镜像法理论依据:唯一性定理。 镜像法基本思路: 分界面上的感应源 区域外的镜像源 无限区域的同种媒质问题 分区媒质问题 镜像电荷位置选择原则: 1、镜像电荷必须位于求解区域以外的空间。 2、镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件。 一. 平面镜像 例5.8 真空中一点电荷q位于一无限大接地导体平面的上方,与平面的距离为h。求z 0区域的电位分布。 1、导体——介质(电场) 用镜像电荷 代替导体平面上的感应电荷 将 区域换成真空 解: ①给出等效问题 z 0区域所满足的边界条件保持不变,即 所以,原问题就化作求解电荷 在无界真空区域中的问题。 区别仅在于我们只取z 0区域的解。 ②求解等效问题 空间任意点的电位由q和 共同产生 根据 ,可知R→∞时,U = 0 根据 ,可得 于是 ③原问题的解 感应电荷密度为 总感应电荷为 ④导体表面上的感应电荷 总感应电荷恰好等于镜像电荷电量。 这一结果是合理的,因为点电荷q所发出的电力线将全部终止于无限大的接地导体平面上。 ★点电荷对相交接地平面导体边界的镜像 a. 两半无限大接地导体平面垂直相交。 要满足在导体平面上电位为零,则必须引入3个镜像电荷。如图所示。 b.对于非垂直相交的两导体平面构成的边界,若夹角为 ,则所有镜像电荷数目为 2n - 1个。 2、介质——介质(电场) q ¢ ¢ h R ¢ ¢ ) , , ( z y x P 2 e o ( c ) 2 e y x q q ¢ - h R R ¢ ) , , ( z y x P 1 e 1 e y x o ( b ) - h 例题5.9 在1区距离界面h处有个点电荷q 求空间的电位分布 q h 1 e 2 e y x o 解:①给出等效问题 x 0区域,可化作是 在充满 介质的无界空间中的场问题(b) x 0区域,可化作是 在充满 介质的无界空间中的场问题(c) ②求解等效问题 两个区域的电位表达式为 电位的边界条件是
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