不定方程和根分布.doc

高一数学竞赛讲义————不定方程和同余 对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理： 定理1．二元一次不定方程ax+by=c，（1）若其中（a，b） c，则原方程无整数解；（2）若（a，b）=1，则原方程有整数解；（3）若（a，b）｜c，则可以在方程两边同时除以（a，b），从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形． 定理2．若不定方程ax+by=1有整数解，则方程ax+by=c有整数解，此解称为特解．方程方程ax+by=c的所有解（即通解）为（k为整数）． 如：方程2x+4y=5没有整数解；2x+3y=5有整数解． 对于非二元一次不定方程问题，常用求解方法有： （1）恒等变形．通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形，使之易于求解； （2）构造法．先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解； （3）估算法．先缩小方程中某些未知数的取值范围，然后再求解． 1．求方程5x+3y=22的所有正整数解． 2求不定方程的正整数解．或或． 3求方程x2－y2=105的正整数解．或或或． 4.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数有_____个。（2个）二元不定方程。 5.已知p,p+14,p+q都是质数，并且p有唯一的值和它对应，则q只能取（ A ）考虑余数 (A)40(B)44(C)74(D)86 D 7.奇数不能表示为三个不相等的合数之和，则满足条件的的最大值为 ．17 8.若为一个平方数，则正整数 。10 解：，设有，于是有故 9.是给定的奇质数，正整数使得也是一个正整数，则=________。 解.设，从而是平方数，设为 。（负值舍去） 10.实数满足，则 。0 11．已知集合．若在A中任取个数，都能从中找出两个不同的数使，则的最小值为 ．351 12. 设p是质数，且p2+71的不同正因数的个数不超过10个，求p 解： 当p=2时，p2+71=75=52×3，此时共有正因数(2+1)(1+1)=6个，故p=2 满足要求．当p=3时，p2+71=80=24×5，此时共有正因数(4+1)(1+1)=10个，故p=3 满足条件． 当p3时，p2+71=p2-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数p必为3k±1型的奇数 p-1、p+1是相邻的两个偶数，且其中必有一个是3的倍数.所以，(p—1)(p+1)是24的倍数， 从而p2+71是24的倍数． 设p2+71=24×m，m≥4． 若m有不同于2、3的质因数，则，p2+71的正因数个数≥(3+1)(1+1)(1+1)l0； 若m中含有质因数3，则，p2+71的正因数个数≥(3+1)(2+1)10； 若m中仅含有质因数2，则p2+71的正因数个数≥(5+1) (1+1)10； 所以，p3不满足条件．综上所述，所求得的质数p是2或3. 实系数一元二次方程实根分布(根的范围问题) ――画草图利用四要素解题 （应用：一元二次不等式在某区间上恒成立或与某区间取公共部分）。 1）开口；2）实根分布的区间端点处的函数值符号；3）对称轴；4） 一、与一个端点比较 ①，， ②，, ③，, 二、与两个端点比较 ①，, ②，,；③，,④，, 练习：1．方程的两根为，①；②； ③分别求出实数的取值范围。 2．方程的两根为，且，则实数的取值范围为_____ 3．已知函数的图象与轴的负半轴有交点，求实数的取值范围。（） 4．，，若，求实数的取值范围. 5．，，①，求实数的取值范围 6.已知 (1)若方程有一个正根和一个负根，求此时实数的取值范围； (2)若在区间上至少存在一个实数，使得，求此时实数的取值范围。() 7.(08北京)已知集合.若， 确定实数的取值范围. ( ) 16．(08温州) 设,若,,. （1）求证：方程在区间（0，1）内有两个不等的实数根；（2）若都为正整数，求的最小值。