二次型在不定方程中的应用.pdf

第23卷第1O期 常熟理工学院学报(自然科学) Vo1．23No．10 2009年1O月 Oct．，2009 JournalofChangshuInstituteTechn0logy(NaturalSciences) 二次型在不定方程中的应用 鱼 浩，戴培 良 (常熟理工学院 数学与统计学院，江苏 常熟 215500) 摘 要：具体介绍了一种二元二次不定方程的解法，分析这种解法，然后提出运用二次型解不定方 程的猜想，证实此猜想并详细介绍这种方法，最后提出漏解情形可能性，并对这个漏解情形进行讨 论并加 以完善． 关键词：不定方程 ；二次型 ；线性变换 中图分类号：0171 文献标识码 ：A 文章编号：1008—2794(2009)10—0038—05 近年来，不定方程求解这个领域虽有重要进展．但从整体上来说，对于高于二次的多元不定方程，人们知道 得不多．另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群 论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注 意，成为数论 中重要的研究课题之一． 我们通过对二元二次不定方程不同解法的研究，发现可以运用二次型变换方程来简化方程形式 ，然后再解 方程的方法．这个方法看似计算量 比较大，很繁琐，但是具有普遍性，对于任意一个二元二次不定方程都能使 用，并且对n(n≥3)元二次不定方程也可以使用这个方法解决． 1 二元二次不定方程的解法 1．1 二元二次不定方程 的类型 不定方程按未知数个数，以及项的最高次可分为多元不定方程和高次不定方程，这里重点介绍二元二次不 定方程的解法． 首先，对于一个二元二次不定方程 ，其一般形式可以写成Ax+Bxy+Cy+ +Ey+F=O，其 中A，B，C，D，E，F都 是整数．令△=B2-4AC．若A0，则称这个方程为双曲型；若△O，则称这个方程为椭圆型；若△=0，则称这 个方程为抛物型．求解一个二元二次不定方程 ，可以根据不同形式的方程用相应的方法． 1．2 二元二次不定方程 的解法 一 般来说，方程Ax+Bxy+Cy+Ox+Ey+F=0，(A，B，C，D，E，F均为整数)解的个数是无限个，或者无实数解．但 是，当把解的范围限制在整数或者正整数的时候，我们就可以求出其全部解，或者其通解．下面具体介绍一种二 元二次不定方程求解整数解 的方法： 对于一个二元二次不定方程Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=O， 收稿 日期：2009—08—03 作者简介：鱼 浩(1986一)，男 ，江苏苏州人，常熟理工学院数学与统计学院2005级本科生． 通讯作者 ：戴培 良(1965一)，男，江苏常熟人，常熟理工学院数学与统计学院教授，博士，研究方向：计算数学，E—mail dpl@cslg．cn． 第 10期 鱼浩，戴培 良：二次型在不定方程中的应用 39 ① △0，即方程是双曲型的，则可以考虑将方程变形为 (nz+by+C)(nzz+bzY+Cz)一d的形式． 其 中a1，b1，C1，n2，b2，c2，d都是整数．所求解是整数 ，那么 口1z+blY+C1，以2+62Y+C2也都是整数 ， 这样只要把 d拆因数 ，就可 以很容易解 出方程的解． ② △ 0，即方程是椭圆型的，则可以考虑将方程变形为 (nz+bY+C1)。+ (a2z+bzY+C2)。一d的 形式 ，其中a1，b1，C1，n2，b2，C2，均为整数． 若 d 0，则很明显 ，方程无解． 若—o，则{m_?_ 一0，求出满足条件的z，Y即可． 1a2z 十 bzY十 c2 U 若 d0，则先控制 a1z+b1Y+Cl，口2z+b2Y+C2的范围： 我们有一√ ≤口1z+61Y+c1≤ ，一 ≤ 2z+bzy+C2≤ ，且 口1z+b1Y+f1，口zz+ + 都是整 数