2013年APMO(亚太地区数学奥林匹克)试题及其解答.pdf

文 武 光 华 2013 年 APMO （亚太地区数学奥林匹克）试题及其解答 解答人：文武光华数学工作室 田开斌 一、如图，AD、BE、CF 是锐角△ABC 的三条高，O 为△ABC 的外心，求证：OA、OF、 OB、OD、OC、OE将△ABC 分为三对面积相等的三角形。 A E F O B D C 证明：如图，作 OM⊥AB 于 M，作 ON⊥AC 于 N，则： · ∠ ∠ = = = ⇒ BF ·OM = CE ·ON⇒ S△ = S△。 · ∠ ∠ 同理可证：S△ = S△，S△ = S△。命题得证。 A E N M F O B D C 二、求所有正整数n，使得 是整数。 √ [ ] 解答：设n = m +r，其中m ∈ N ，r ∈ N，且r ≤ 2m，则 n = m。于是 ( ) ( ) ( ) = = m + 2r − 1 + √ ( ) ( ) ( ) 从而有m +2| r − 2 + 1。然而 r − 2 + 1 ≤ max5， 2m −2 + 1 ＜4m + ( ) ( ) 5＜4 m + 2 ，于是 = 1、2或3。