2023亚洲太平洋地区数学奥林匹克(APMO)中文翻译.pdf

2023亚洲太平洋地区数学奥林匹克(APMO)中文翻译

1.设是一个整数。考虑边长分别为的个正方形。这些正方形在平面上排

列，边平行于轴和轴。假设除了在它们的顶点处可能接触到对方，没有两个正方形互相接

触。证明：可以将这些正方形排列在一起，使得每个正方形恰好接触两个其他正方形。

2.找到所有满足条件且的整数，其中表示的所有正因子的和，

表示的最大素数因子。

3.设是一个平行四边形。设分别是边上的点，使得三角

形的内心组成一个平行四边形。证明是一个平行四边形。

4.设是给定的正实数，是所有正实数的集合。找到所有满足下面条件的函数

：对于任意，都有。

5.在平面上有条线段，没有三条线段在同一点相交，而且每一对线段在各自内部相交一次。

托尼和他的个朋友各站在一条线段的不同端点上。托尼希望按照以下方式给他的每个

朋友送圣诞礼物：

首先，他选择每条线段的一个端点作为“汇点”。然后，他把礼物放在他所在的线段的端点处。

礼物的移动方式如下：

如果它在一条线段上，它就朝着汇点移动。

当它到达两条线段的交点时，它会改变它所在的线段并开始朝着新的汇点移动。

如果礼物到达了一个端点，那个端点上的朋友就可以收到他们的礼物。

证明托尼可以给他的个朋友中的恰好个送礼物。