第一章作业讲述.ppt

作业参考答案 2015年9月 设质点在势能场U(r)中运动，在笛卡尔坐标系中写出其拉格朗日方程。 解：拉格朗日方程为： L为拉格朗日函数 笛卡尔坐标中的坐标变量为 ，那么 所以， 带入拉格朗日方程得到 这就是笛卡尔坐标系中的拉格朗日方程 即牛顿第二定律 已知柱坐标 与笛卡尔坐标的关系是 如图．设质点在轴对称势能场 中运动，写出其拉格朗日方程。 解法一：由以上关系可以得到 那么，系统的动能为 已知柱坐标 与笛卡尔坐标的关系是 如图．设质点在轴对称势能场 中运动，写出其拉格朗日方程。 解法二：由柱坐标和笛卡尔坐标的关系可知 等式两边同时除以dt 那么，系统的动能为 那么，系统的拉格朗日函数为 所以 带入拉格朗日方程，则有： 长度为l的细绳系一小球，悬挂点按照 方式运动，如图所示，小球被限制在 平面内运动， 时悬线竖直向下。 （a）求悬线和竖直线偏离 所对应的虚位移 （b）已知在这一时刻的角速度为 ，求经过 时间后的位移 。问：当 时， 与 有何差别？ （a）在任意时刻，约束所容许的位移为虚位移，途中的小球，受到细绳的和自身重力的约束，在这个时刻， 解： x 小球只能围绕O点作圆周运动，当偏离角为 时，对应的虚位移为 。 （b）小球经过 时间后的位移，可以看作由两部分组成： （1）小球绕O点作圆周运动所产生的位移 （2）小球随O点一起作简谐运动所产生的位移 所以，小球的位移为 和 的区别如图所示： x 虚位移和实际位移的主要区别在于 虚位移只和约束有关,某一时刻约束所允许的位移。 实际位移除了和约束有关以外，还和物体当前的运动状态有关；运动方程和约束允许，在时间间隔内所发生的位移。 长度同为l 的轻棒四根，相互连接成一个可以无摩擦的改变顶角的菱形ABCD，AB和AD两棒无摩擦的支于处于同一水平线上且相距2a的两根钉上，BD之间用一根轻质棒连接，在连接点（B和D处），各棒之间可以无摩擦的转动，C点上系有一重物W，C点和重物受到约束，只能上下运动，设A点两棒之间的夹角为 ,试用虚功原理求平衡时联结棒BD 中的张力 ，讨论 的方向与 的大小的关系。问：在什么情况下有 ，说明其意义。 4. 由虚功原理，在平衡状态下可得 解： 为了求棒中的张力，可将棒的约束予以“释放”，以张力 作为主动力代替棒。此时系统的自由度为1，系统受3个外力作用：作用于B的张力 ，作用于D的张力 ，作用于C点的W。 坐标系：两根钉连线的中点为坐标原点，连线 所在直线为x轴（向右为正），垂直连线为y轴 （向下为正），并取 为广义坐标。 B、D点的x坐标： C点的y坐标： 最后可得： 即有： 杠对B的作用力向内 杠对B的作用力向外 杠对B无作用力 9．质量为M的斜面可以无摩擦地在水平桌面上滑动。斜面上无摩擦地放一滑块 m，如图所示。写出拉格朗日方程，并求斜面的加速度 和滑块相对于斜面的加速度 。 解：系统的拉格朗日函数为 即有： 解之得： 带入拉氏方程： 滑块的能量 斜面的能量 系统的总能量 K系（桌面坐标系） K’系（沿X方向以速度V相对于桌面运动的坐标系） P37 第5题 系统的能量在k系和 系之间的变换方程 10．直接用拉格朗日方程[ 1.1.2 (2.21) 式 ]证明，由相差一广义坐标和时间的函数的时间全导数的两个拉格朗日函数L` 和L [1.1.3 (3.13)式 ] 得到的运动方程相同。 证明：L和L’相差一个广义坐标和时间的全微分 那么 由L` 和L 得到的运动方程相同。 将拉格朗日方程 代入上两式 那么 12．已知一维运动自由质点的拉氏量是 (a)证明：当按真实运动方式运动时，作用量是 (b)设 ，求 ；并任意假定一种非真实的运动方式，计算相应的作用量 ，验证 。 解：按真实情况运动时，自由质点作匀速直线运动，速度为常数 。 将 带入得到 将 带入得到 （b）假设自由质点不做匀速直线运动，则速度为时间的函数 ，且满足： 那么 υ平方的平均值大于υ平均值的平方。 举例：设 为非真实运动 * *