第一章 矢量讲述.doc

矢量分析 1.在球面坐标系中，当与无关时，拉普拉斯方程的通解为：（ ）。 2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（ ），这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。 3. 矢量场 在闭合面 的通量定义为 ，它是一个标量；矢量场的（ ）也是一个标量，定义为 。 4. 矢量场 在闭合路径 的环流定义为 ，它是一个标量；矢量场的旋度是一个（ ），它定义为 。 5.标量场u（r）中，（ ）的定义为 ，其中n为 变化最快的方向上的单位矢量。 6. 矢量分析中重要的恒等式有 任一标量的梯度的旋度恒为（ ）。 任一矢量的旋度的散度恒为（ ）。 7. 算符▽是一个矢量算符，在直角坐标内， ，所以 是个（ ），而 是个（ ）， 是个（ ）。 8. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手，（ ）方程和（ ）方程组成了矢量场的基本微分方程。 9. （ ）坐标、（ ）坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标 10. 标量：（ ）。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 等。 11. 矢量：（ ）。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 12. 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量（ ）地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。 13. 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量（ ）地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。 14. 旋度为零的矢量场叫做（ ） 15. 标量函数的梯度是（ ），如静电场 16．无旋场的（ ）不能处处为零 17. 散度为零的矢量场叫做（ ） 18. 矢量的旋度是（ ），如恒定磁场 19．无散场的（ ）不能处处为零 20．一般场：既有（ ），又有（ ） 21．任一标量的梯度的旋度恒为（ ） 22．任一矢量的旋度的散度恒为（ ）。 23． 给定三个矢量和： 求：(1)； (2)； (3)； (4)； (5)在上的分量： (6)； (7)； (8)和。 24． 三角形的三个顶点为(0，1，－2)、(4，1，－3)和(6，2，5)。 (1) 判断是否为一直角三角形。 (2) 求三角形的面积。 25． 求(－3，1，4)点到P(2，－2，3)点的距离矢量及的方向。 26． 给定两矢量和，求在上的分量。 27． 如果给定一未知矢量与已知矢量的矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设为一矢量，，而，和已知，试求。 28． 在圆柱坐标中，一点的位置由定出， 求该点在(1)直角坐标中；(2)球坐标中的坐标。 29． 用球坐标表示的场， (1) 求在直角坐标系中点(－3，4，5)处的和； (2) 求与矢量构成的夹角。 30． 球坐标中两个点()和()定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为 提示：，在直角坐标中计算。 31． 一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：的值。 32． 在由r=5,z=0和z=4围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。 33． 求(1)矢量的散度； (2)求对中心在原点的一个单位立方体的积分； (3)求对此立方体表面的积分，验证散度定理。 34． 计算矢量对一个球心在原点，半径为a的球表面的积分，并求对球体积的部分。 35． 求矢量沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。 36． 求矢量沿圆周的线积分，再计算对此圆面积的积分。 37． 证明：（1），（2），（3），其中为一常矢量。 38． 一径向矢量场用，表示，如果，那么函数会有什么特点呢？ 39． 给定矢量函数，试：（1）沿抛物线；（2）沿连接该两点的直线分别计算从点到的线积分的值，这个是保守场吗？ 40． 求标量函数的梯度及再一个指定方向的方向导数。此方向由单位矢量定出；求（2，3，1）点的导数值。 41． 试采用与推导式（1，3，8）相似的方法计算圆柱坐标下的计算式。 42． 方程给出一椭球族。求椭球表面上任意一点的单位法向矢量。 43． 现有三个矢量场 问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以用一个矢量的旋度表示？ （2）求出这些矢量的源分布。 44． 利用直角坐标证明： 45． 证明： 46． 利用直角坐标证明： 47． 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及，试证明之。 48．求数量场φ =(x+y)