计算方法-第5章-3、解线性方程组的直接方法(5.6范数及误差).ppt

华长生制作 条件数的性质 “病态”方程的经验判断 * §5.6 范数及误差分析 定义1. 5.6 向量和矩阵的范数 --------(1) --------(2) --------(3) 显然 并且由于 --------(4) 例1.求下列向量的各种常用范数 解: 定义2. 不难验证其满足定义2的4个条件 称为Frobenius范数,简称F-范数 --------(5) 类似向量的 2-范数 根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵算子范数 --------(6) --------(7) --------(8) 例3. 求矩阵A的各种常用范数 解: 由于 特征方程为 容易计算 计算较复杂 对矩阵元素的 变化比较敏感 较少使用 使用最广泛 性质较好 定义6. --------(9) 显然 定理21. --------(10) 5.7 误差分析简介 即有 --------(11) --------(12) --------(13) --------(14) 所以 又因为 可得 (12)和(13)两式相乘,得 相对误差 (14)式表明,由常数项产生的误差,最多可将解的 相对误差放大 倍 --------(15) 如果假设 则由定理21,可知 且 (15)式化为 --------(16) --------(17) --------(18) 定义8. --------(19) 显然 即任意矩阵的条件数必不小于1 根据算子范数的不同也有不同的条件数: --------(20) --------(21) 根据定义8的定义,(14)式和(18)式可表示为 -----(22) * * * * *