阿波罗尼斯圆在高考中的应用.pdf

阿波罗尼斯圆在高考中的应用 在近几年的高考中，以阿波罗尼斯圆为背景的考题不断出现，备受命题者的青睐，下面我们通过一例 高考题，讲解如何运用阿波罗尼斯圆进一步加强对与此圆与关试题的认识。 一、背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线 有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作 《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果 之一. 求证：到两定点的距离的比值是不等于1 的常数的点的轨迹是圆. 如图，点 为两定点，动点 满足PA PB ， A,B P 则 时，动点 的轨迹为直线；当 时，动点 的轨迹为圆，  1 P   1 P 后世称之为阿波罗尼斯圆． 证明：设 ．以 中点为原点，直线 为 轴建立平面直角坐标系，则 AB 2m （m  0）,PA PB AB AB x A （ m，0），B （m，0）． C （x，y） 2 2 2 2 又设 ，则由PA PB 得: (x  m)  y  (x  m)  y ， 两边平方并化简整理得: 2 2 2 2 2 2 2 ， （ 1）x  2m （  1）x  （ 1）y m （1 ） 当 时， ，轨迹为线段 的垂直平分线；  1 x 0 AB 2 2 2 2   1 2 2 4 m   1 2m 当  1时，(x  2 m)  y 2 2 ，轨迹为以点( 2 m,0)为圆心，以 2 长为半径的  1 ( 1)  1  1 圆． 二、问题呈现 y B C x 例 1、 （2015湖北理14）如图，圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴 T(1, 0) y 交于两点A,B （B 在A 的上方），且 AB 2 ． C C N （Ⅰ）圆 的标准方程为 ；（Ⅱ）过点 任作一条直线与圆 A ．． M A NA MA 2 2 相交于 M,N 两 点，下列三个结论 ：① ； O T x O:x y 1 NB MB NB MA NB MA ②  2 ；③