阿波罗尼斯圆和蒙日圆问题（2大题型）原卷版—2025年高考数学二轮复习.pdf

重难题型•解题技巧攻略

阿波罗尼斯圆和蒙日圆问题（2大题型）

*题型归纳•定方向*

目录

题型01阿波罗尼斯圆1

题型02蒙日圆5

•题型探析・明规律

题型01阿波罗尼斯圆

【解题规律•提分快招】

一、阿波罗尼斯圆

1.阿波罗尼斯圆的定义

在平面上给定两点8,设P点在同平面上且满足言=4，当40且时，尸点的轨迹是个圆，称之

为阿波罗尼斯圆.（4=1时P点的轨迹是线段的中垂线）

2.阿波罗尼斯圆的证明

pA

设Px（,y），4-（a,0）,5a（,0）.若诟=彳（彳0且a1）,则点P的轨迹方程是

2\222

A+l2A+l2aA

x—a+y=,其轨迹是以2“，0|为圆心，半径为尸=2的圆.

22-12-1

2-l

7

证明：由P/=4尸3及两点间距离公式，可得工（+.）2+/=万@［-0）2+必］,

化简可得（1下卜2+（1-矛）2+2（1+2）依+（1-42）。2=0①，

｝;/1

（1）当4=1时，得尤=0,此时动点的轨迹是线段42的垂直平分线;

（2）当义,时，方程①两边都除以1分得/+/+辿=fc+a2=0,化为标准形式即为:

\2

川+1

a•••点尸的轨迹方程是以京二道，。为圆心，半径为厂=20的圆•

2

2-1

7

【定理】4,3为两己知点，分别为线段N2的定比为apwl）的内外分点，则以上W为直径的圆C上

任意点尸到48两点的距离之比为几.

证明：以41为例.如图②，设48=2°,——=2,则4M=：，BM=2a—；丝=12*

JMBNB1+A1+A1+A

AN二/，BN;入。二3.过B作的垂线圆C交于0,尺两点，由相交弦定理及勾股定理得

涧=MB・BN,Q#=AB?+解,于是=Q=

2v222

?2-1上A-lVl-1V2-l