2025年高考数学高考数学二轮重难题型攻略(新高考通用)专题12阿波罗尼斯圆和蒙日圆问题(2大题型)(学生版+解析).docx
PAGE/NUMPAGES
专题12阿波罗尼斯圆和蒙日圆问题
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
TOC\o1-1\h\u题型01阿波罗尼斯圆 1
题型02蒙日圆 5
题型01阿波罗尼斯圆
【解题规律·提分快招】
一、阿波罗尼斯圆
1.阿波罗尼斯圆的定义
在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线）
2.阿波罗尼斯圆的证明
设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆．
证明：由及两点间距离公式，可得，
化简可得①，
（1）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线；
（2）当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为：
，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆．
图①图②图③
【定理】为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为．
证明：以为例．如图②，设，，则，
．过作的垂线圆交于两点，由相交弦定理及勾股定理得，于是．
同时在到两点距离之比等于的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，
圆上任意一点到两点的距离之比恒为．同理可证的情形．
3.阿波罗尼斯圆的相关结论
【结论1】当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外．
【结论2】因，故是圆的一条切线．若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然．
【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为．
【结论4】过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线．
【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角．
证明：如图①，由已知可得（且），，又，
平分．由等角的余角相等可得，平分的外角．
【结论6】过点作圆不与重合的弦，则AB平分．
证明：如图③，连结，由已知（且），又，平分．
平分．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·浙江金华·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（???）
A．6 B． C． D．5
2．（24-25高三上·福建福州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（????）
A．轨迹的方程为
B．面积最大值为
C．若，则的最大值为
D．在上存在点，使得
3．（24-25高三上·湖南株洲·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（24-25高三上·山东烟台·期末）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两个定点的距离之比为常数，且，那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点到点与点的距离之比为，则（????）
A．点的轨迹方程为
B．点到直线距离的最小值为
C．点到圆上的点的最大距离为
D．若到直线的距离为的点至少有3个，则
5．（24-25高三上·江苏连云港·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（???）
A．曲线的方程为
B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是
C．曲线上的点到直线的最小距离为
D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于
三、填空题
6．（24-25高三上·福建厦门·期中）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为．
7．（23-24高三上·海南海口·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中