江苏省南京师大附中2015年高三上学期12月月考数学试卷含解析.doc

江苏省南京师大附中2015届高三上学期12月月考数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上． 1．（5分）在复平面内，复数﹣3+i和1﹣i对应的点间的距离为． 2．（5分）在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆（圆中阴影部分）中的概率是． 3．（5分）对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如表： 花期（天） 11～13 14～16 17～19 20～22 个数 20 40 30 10 则这种卉的平均花期为天． 4．（5分）已知sinα=，α∈（﹣，），则cos（απ）=． 5．（5分）直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围为． 6．（5分）设函数f（x）是奇函数且周期为3，f（﹣1）=﹣1，则f=． 7．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为． 8．（5分）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足，则=． 9．（5分）有下面四个判断： ①命题“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题； ②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题； ③命题“?a、b∈R，a2+b2≥2（a﹣b﹣1）”的否定是“?a、b∈R，a2+b2≤2（a﹣b﹣1）”； ④若函数的图象关于原点对称，则a=﹣1． 其中正确的有（只填序号） 10．（5分）若双曲线=1的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为． 11．（5分）设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为． 12．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为． 13．（5分）设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为． 14．（5分）已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x?y）=xf（y）+yf（x）成立． 数列{an}满足an=f（2n）（n∈N*），且a1=2．则数列的通项公式an=． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且． （1）求证：； （2）若cos（A﹣C）+cosB=1，求角B的大小． 16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点． （1）求证：直线EF∥平面BC1A1； （2）求证：EF⊥B1C． 17．（14分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f（t）（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费g（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=115﹣|t﹣15|． （Ⅰ）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）． 18．（16分）已知抛物线D的顶点是椭圆C：+=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合． （1）求抛物线D的方程； （2）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点． ①若直线l的斜率为1，求MN的长； ②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由． 19．（16分）设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性． （Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 20．（16分）记数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），若存在实常数A，B，C，对于任意正整数n，都有an+Sn=An2+Bn+C成立． （1）已知A=B=0，a1≠0，求证：数列{an}（n∈N*）是等比数列； （2）已知数列{an}（n∈N*）是等差数列，求证：3A+C=B； （3）已知a1=1，B＞0且B≠1，B+C=2．设λ为实数，若?n∈N*，＜λ，求λ的取值范围． 江苏省南京师大附中2015届高三上学期12月月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上． 1．（5分）在复平面内，复数﹣3+i和1﹣i对应的点间的距离为2． 考点： 复数的代数表示法及其几何意义． 专题： 计算题．