2009年《线性代数》试卷A答案.doc

2009年《线性代数》试卷答案 选择题：（每题3分，共18分） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 二、填空题：（每题3分，共18分） 7. ； 8. ； 9. ； 10. ； 11. ； 12. 三、计算与证明 13. 14. 15. ，其同解方程组为 解得基础解系为 正交化 单位化 16. 所以且为向量组的一个极大线性无关组. 由于, 所以线性相关, 从而 由此解得 又可由线性表示, 从而可由线性表示, 所以线性相关, 于是 解之得. 于是 17. 设存在一组数使得，即 （1）当有 当时，方程组无解， 故当 不能由线性表示； （2）当 方程组有唯一解 故当可由唯一地线性表示，其表示式为 （3）当 方程组有无穷多解， 故可由线性表示，但表示法不唯一 18.（1）设存在一组数使得 ① 左乘 即 又即 ② ①②得 因为 线性无关，所以 即 将代入①得 故 线性无关； （2）令 19.（1），由得，即，又即 （2）的特征值 的属于的线性无关的特征向量为 的属于的线性无关的特征向量为 易见两两正交，将单位化，得 取，则为正交矩阵。 令，得 20. 充分性 对 即 正定； 必要性 设为的特征值，由于正定，所以 为是对称矩阵，存在正交矩阵使得， 即 令 ，则 可逆且