10级线性代数试卷A答案.doc

中南大学考试试卷答案 2010——2011学年第二学期（2011.4） 时间：100分钟 《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷 专业年级：2010级 总分：100分 一、填空题（本题15分，每题3分） 1、0； 2、； 3、4； 4、； 5、1。 二、选择题（本题15分，每题3分） 1、D； 2、B； 3、A； 4、C； 5、B. 三、（本题8分） 解：从第一行开始，每行乘后逐次往下一行加，再按最后一行展开得： 原式=。 四、（本题12分） 解：由，得：， 可逆，故； 由于，。 五、（本题14分） 解：（1） 令，， 则线性无关， 故是向量组的一个极大无关组； （2）由于4个3维向量 线性相关， 若线性无关，则可由线性表示，与题设矛盾； 于是线性相关，从而。 （3）令， 。 六、（本题14分） 解：（1） ，所以方程组（Ⅰ）的基础解系为：； （2）设，即 ， 故上述方程组的解为，于是方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）所有非零公共解为： 。 七、（本题14分） 解：（1） ， 将代人上式，得； （2）由（1）得，显然为实对称阵，而 令，显然也是实对称阵，是单位阵， 由，得的特征值， 属于对应的特征向量为，单位化：， 属于对应的特征向量为， 单位化：， 取，则有。 八、（本题8分） 证明：由 得的特征值， ， 故的最大特征值是。