10级线性代数试卷A.doc

中南大学考试试卷 2010——2011学年第二学期（2011.4） 时间：100分钟 《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷 专业年级：2010级 总分：100分 一、填空题（本题15分，每小题3分） 1、设为四阶方阵，其中为的第个列向量, 令，则 。 2、设为三阶方阵，为的伴随矩阵，且，则 。 3、设，且，则 。 4、若阶方阵有特征值，则必有 特征值 。 5、若二次型经正交变换化为， 则 。 二、选择题（本题15分，每题3分） 1、设是阶方阵，则的必要条件是（ ）。 （A）中两行（列）元素对应成比例； （B）中有一行元素全为零； （C）任一行元素为其余行的线性组合； （D）必有一行元素为其余行的线性组合。 2、设是阶对称阵，是阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。 3、设向量组当（ ）时，向量组线性相关。 （A）5 （B）4 （C）3 （D）2 4、设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解向量， 为任意常数，则非齐次线性方程组的通解为（ ）。 （A） ； （B） ； （C）； （D）。 5、设方阵是正定矩阵，则必有（ ）。 （A）； （B）； （C）； （D）。 三、（本题8分） 计算行列式 ，其中。 四、（本题12分） 设，且，求矩阵及， 其中为的伴随矩阵，为单位矩阵。 五、（本题14分） 设向量组不能由向量组 线性表示。 （1）求向量组的一个极大无关组； （2）求的值； （3）将向量用线性表示。 六、（本题14分） 设齐次线性方程组（Ⅰ）为，已知齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为。（1）求方程组（Ⅰ）的基础解系；（2）问方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有非零公共解，若没有，则说明理由。 七、（本题14分） 设矩阵， （1）已知的一个特征值为 求； （2）求方阵，使为对角阵。 八、（本题8分） 试证明： 阶矩阵的最大特征值为，其中。