泛函1-2 与1-3 1-4 .ppt

* 应用泛函分析 E-mail:yangli@swust.edu.cn 主讲：杨莉 §2 关于实数的几个定理 半序关系：如果一个集合X的一些元素之间 ”，则称这种关系 “ ”为半序关系。 2.反对称性： 3.传递性： 2.1 上确界和下确界 有满足下述三个条件的关系“ 1.自反性： 半序集：定义了某种半序关系的集合（ ）就 称为半序集。 全序集：如果对半序集中任意两个元素 和 两者至少有一式成立，则称此集合为全序集。 (x 3 m)则称A为有上界(下界)的数集, x ∈A ,都有x ￡ L ??有界数集: 若数集A既有上界又有下界,则称A为有界集. 数L (m)称为A的一个上界(下界). 设A是R中的一个数集,若存在数L (m),使得对任一 定理 数集 是一有界数集的充分必要条件是存在 ，使得对任何 ，有 实数 确界: 直观定义:若数集A有上界，则它有无穷多个上界，其中最小的一个上界称为数集A的上确界，记作 同样，有下界数集A最大的一个下界称为数集A的下确界，记作 M M2 M1 上确界 上界 m2 m m1 下确界 下界 定义 S x x1 x2 x3 x4 x5 xn , ) ( x a ii a , , 0 0 a ? $ x A x 使得 x0 ， A 的最小上界 又是 即 x ; . , ) ( 的上界 是 即 有 满足 若数 中的一个数集 是 设 A x A x i ， R A x x x ￡ ? . sup A ， A = x x 记作 的上确界 为数集 则称数 同理可得下确界的定义. 定义 ; . , ) ( 的下界 是 即 有 满足 若数 中的一个数集 是 设 A x A x i ， R A h h h 3 ? . inf , , , ) ( 0 0 A ， A ， A x A x ii = ? $ h h h b h b 记作 的下确界 为数集 则称数 的最大下界 又是 即 使得 等价定义 的充要条件 1) 　是　的上界 2) 使得 的充要条件 1) 　是　的下界 2) 使得 2.2 确界存在定理： 任何有上界的非空实数子集A必有上确界。任 何有下界的非空实数子集必有下确界。 且 证：设 则不妨设 有 对 使 矛盾． , 命题 如果M是A的上确界，则必存在序列 使得 。反之 , 如果M是A的一个上界 , 而且 存在序列 ,使得 , 则M是A的上确界。 M 定理2.3的几何解释 x1 x5 x4 x3 x2 xn A 以递增数列为例? 数列的点只可能向右一个方向移动? 或者无限向右移动? 或者无限趋近于某一定点A? 而对有界数列只可能后者情况发生? 2.3 单调有界定理： 是单调增加（减少）的有界数列， 设 则必有极限，且 2.4 区间套引理： 是一列有界闭区间，满足 ，并且有 那么存在唯一的 ，使得 设 2.5 Cauchy收敛准则： 收敛的充分必要条件是： 当 时，有 满足以上条件的数列称为Cauchy列或基本列。 数列 2.6 Bolzano —Weierstrass定理： 必有收敛子序列 任一有界实数列 定理2.5 的几何解释 柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起. x1 x2 x3 x4 x5 2.7 Heine—Borel有限覆盖定理： 是有界闭区间， 开区间，使得 （这时称此开区间族 的一个开覆盖），则可从其中选出有限个 ,使得 （这有限个开区间称为原来开覆盖的有限子覆盖） 设 是一族 是 开区间 §3 一致连续与一致收敛 3.1 定义：连续 如果 ， , 只要满足 就有 ，则称函数 f 在 点连续。 设 如果f 在E的每一点处连续，则称f 在E上连续。 ， { { 3.1 定义：一致连续 定义在点集 上，如果 ， （ 与x无关），使得 , 只要满足 ，就有 ，则称 在集合E上一致连续。 设函数 例 证明 上一致连续。 若 在E上一致连续,则 在E上连续； 在E上连续, E上一致连续). 反之不成立（即若 不一定在 例 设 则 f 在E上连续, 但不一致连续。 若函数 在闭区间 上连续,则 在 上一致连续. 3.3 一致连续性定理（Cantor定理） 3.4 定义：函数序列的收敛性 是定义在点集 上的一个 ，使得 ，有 是 ，并称 设 函数序列，对于E中每一个点x， 的极限函数，用式 都收敛，即收敛到一个数，