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《泛函分析》课程大纲
课程编码：1908343114课程名称：泛函分析
英文名称：FunctionalAnalysis
课程类型：□通识教育课程□学科基础教育课程?专业教育课程课程性质：?必修□方向□选修总学时数：48学时（授课48学时）总学分数：3先修课程：数学分析；高等代数；解析几何；点集拓扑；常微分方程；实变函数适用专业：数学与应用数学开课学期：第6学期开课学院/部(室/所/其他）：数学与统计学院一、课程地位与作用
本课程是数学与应用数学专业学生开设的专业教育必修课程，该课程属于数学与应用数学专业的一门专业核心课程，是现代数学的一个重要分支。它是20世纪30年代从变分法、微分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的一门数学分支学科，它综合了函数论、几何和代数的观点与方法，研究无穷维空间上的函数、算子理论，解决了分析学中的诸多问题。泛函分析的概念、方法已经渗透到数学的各个分支而且日益广泛地被应用于自然科学、工科技术理论和社会科学的各个领域，已成为现代纯粹数学和应用数学研究和应用的基础。
课程目标
通过本课程的理论教学实现下列目标：
学习泛函分析的主要内容，包括距离空间、赋范线性空间、内积空间的最基本概念（包括概念的来源和背景）和主要性质；了解Banach空间的有界线性算子理论和Hilbert空间中的有界线性算子理论的核心定理与性质；
理解和领会运用泛函分析的理论和方法研究无穷维空间的结构和性质，旨在培养学生对数学分析、拓扑学、线性代数等知识的综合运用能力。注意其与先修课程的内在联系，采用“归纳、类比和联想”的方法，将分析、代数等有限维空间处理问题的方式和结果延拓（或有条件的延拓）到更一般的空间，努力展现数学的美学结构；
通过本课程的学习，使学生掌握空间和算子的基本概念和理论，进一步提高抽象思维能力和逻辑推理能力，做到概念清楚、思维清晰，逻辑推理严谨；
引导学生学会应用泛函分析的理论及其研究问题的思想和方法，培养学生综合运用分析、代数、
几何手段处理问题的方法和能力，为进一步学习近代数学、近代物理、从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础。
课程目标支撑毕业要求
课程目标
毕业要求1
毕业要求2
毕业要求3
毕业要求4
毕业要求5
毕业要求6
毕业要求7
毕业要求8
目标1
√
目标2
√
目标3
√
目标4
√
课程教学内容与基本要求
第一章距离空间（支撑课程目标1、2、3、4）参考课时：24学时
教学目标：掌握距离空间的概念及各种典型例子；掌握距离空间中的主要性质和核心定理。
教学内容：
距离空间的基本概念；
距离空间中的点集.稠密性与可分性；
距离空间的完备性；
距离空间的列紧性与紧性；
Banach不动点定理。
学习重点：常见的距离空间例子；距离空间中的基本概念与主要性质、核心定理。
学习难点：验证空间的完备性、稠密性、可分性等性质；具体空间中集合列紧的判别法；Baire纲定理及Banach不动点定理的应用。
第二章赋范线性空间（支撑课程目标1、2、3、4）参考课时：12学时
教学目标：掌握赋范线性空间和Banach空间的概念及典型例子；掌握赋范线性空间和Banach空间的主要性质。
教学内容：
赋范线性空间；
巴拿赫空间；
具有基的Banach空间。
学习重点：赋范线性空间及Banach空间的概念及例子；有限维赋范线性空间的性质。
学习难点：赋范线性空间和距离空间的关系；具有基的Banach空间的性质。
第三章内积空间（支撑课程目标1、2、3、4）参考课时：12学时。教学目标：掌握内积空间与Hilbert空间的定义与性质；掌握内积空间的特征及规范正交系、可分Hilbert空间的拓扑同构。
教学内容:
内积空间的基本概念与性质；
Hilbert空间中的正解分解定理；
正交系；
Hilbert空间的同构。
学习重点：内积空间的概念及例子；正交分解定理；规范正交系的概念及性质；可分Hilbert空间的拓扑同构。
学习难点：变分引理；Riesz引理的应用；可分Hilbert空间的拓扑同构。
教学内容支撑课程目标
教学内容
课程目标1
课程目标2
课程目标3
课程目标4
第一章
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第二章
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第三章
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学时分配与教学方法
章节名称
授课学时
教学方式
教学手段
备注
第一章距离空间
24
讲授、混合式教学
微课视频辅助教学
第二章赋范线性空间
12
讲授、混合式教学
微课视频辅助教学
第三章内积空间
12
讲授、混合式教学
微课视频辅助教学
合计
48
考核方法与考核评价标准
考核目标：学生掌握距离空间，赋范线性空间，内积空间及其完备化空间的概念和典型例子以及这三类空间的相互关系；掌握距离空间中关于收敛、完备性、稠密可分性、有界性、全有界性、