125赵连云_雅可比迭代法与高斯_塞德尔迭代法的比较.doc

雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法的比较 赵连云 包头师范学院数学科学学院 摘要：在求解线性代数方程组的许多实际问题中，尤其在偏微分方程的差分方法与有限方法的求解问题之中，用迭代法去解线形方程组有明显的优点.其中最主要的是雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-塞得尔（Gauss-Seidel）迭代法，本文就这两种方法及它们的收敛判别条件作了较系统的归纳总结，并给出典型例子加以分析.对具体的求解中，选用那一种方法使解题更快速，更有效有着重要意义. 关键词：Jacobi迭代法； Gauss-Seidel迭代法； 收敛； 比较. 一 预备知识 定义1 设为n阶矩阵. ①如果 (13) 即A的每一行对角元素的绝对值都严格大于同行其他元素绝对值之和，则称A为严格对角优势矩阵. ②如果 且至少有一个不等式严格成立,则称A为弱对角优势矩阵. 例如是严格对角优势矩阵，是弱对角优势矩阵. 定义2 设是n阶矩阵，如果经过行的互换及相应列的互换可化为, 即存在n阶排列矩阵P,使 其中为方阵，则称A是可约的,否则称A为不可约的. 二 具体内容 （一） 雅可比迭代法 设线性方程组 (1) 的系数矩阵A可逆且主对角元素均不为零,令 并将A分解成 (2) 从而(1)可写成 令 其中. (3) 以为迭代矩阵的迭代法(公式) (4) 称为雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为 (5) 其中为初始向量. 由此看出,雅可比迭代法公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法.在电算时需要两组存储单元,以存放及. 例1 用雅可比迭代法求解下列方程组 解 将方程组按雅可比方法写成 取初始值按迭代公式 进行迭代，其计算结果如表1所示 表1 ?  0 1 2 3 4 5 6 700.720.9711.0571.08531.09511.0983 …00.831.0701.15711.18531.19511.1983 …00.841.1501.24821.28281.29411.2980 …? （二） 高斯—塞德尔迭代法 由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量,显然在计算第i个分量时,已经计算出的最新分量没有被利用，从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第次近似的分量加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德（Gauss-Seidel）迭代法. 把矩阵A分解成 (6) 其中,分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成 即 其中 (7) 以为迭代矩阵构成的迭代法(公式) (8) 称为高斯—塞德尔迭代法(公式),用 量表示的形式为 (9) 由此看出,高斯—塞德尔迭代法的一个明显的优点是,在电算时,只需一组存储单元(计算出后不再使用,所以用冲掉,以便存放近似解. 例2 用高斯——塞德尔迭代法求解例1. 解 取初始值，按迭代公式 进行迭代，其计算结果如下表2 表2  0 1 2 3 4 5 6 700.721.043081.093131.099131.099891.09999 1.100.9021.167191.195721.199471.199931.19999 1.201.16441.282051.297771.299721.299961.3 1.3? 从此例看出,高斯—塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快(达到同样的精度所需迭代次数少),但这个结论,在一定条件下才是对的,甚至有这样的方程组,雅可比方法收敛，而高斯—塞德尔迭代法却是发散的. （三）迭代收敛的充分条件 定理1 在下列任一条件下,雅可比迭代法(5)收