线性方程组的迭代法-雅可比、高斯塞德尔和超松弛迭代.ppt

我们知道，凡是迭代法都有一个收敛问题，有时某种方法对一类方程

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组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。一个收敛的迭

代法不仅具有程序设计简单，适于自动计算，而且较直接法更少的计

算量就可获得满意的解。因此，迭代法亦是求解线性方程组，尤其是

求解具有大型稀疏矩阵的线性方程组的重要方法之一。

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第六章解线性方程组的迭代法

6.1迭代法的基本思想

迭代法的基本思想是将线性方程组转化为便于迭代的等

价方程组，对任选一组初始值，按某种

01(0)

xi(i计1,2算,规则,n，)不断地

对所得到的值进行修正，最终获得满足精度要求的方程

02组的近似解。

ARnnbRn

AxbxA1b

l设非奇异，，则线性方程组

01有惟一解，经过变换x构造出G一个x等价同d解方程组

02lx将(k上式1)改写成G迭x代(式k)d(k0,1,)

(0)(0)(0)(0)T

xx1,x2,,xn

选定初始向量,反复不断地使用迭代式逐步逼近

03方程组的精确解,直到满足精度要求为止。这种方法称为迭代法

(k)(k)(k)(k)T

xx1,x2,,xn

****T

xx1,x2,,xn

l如果

l存在极限

l则称迭代法是收敛的，否则就是发散的。

l收敛时，在x迭(k代1公)式Gx(k)d(k0,1,)

l中当时，,则

(k)*x*Gx*d

l,故k是方程组x的解。x

*

l对于给x定的方程组可以构造A各x种迭代b公式。

l并非全部收敛

例1用迭代法求解线性方程组

2xx3

12

2x15x23

01xx02x30304

112



解构造方程x22据x此1建4立x迭2代3取迭代解离精确

组的等价方程(k1)公(k式)(k)(0)(0)解

xxx3计算得x1x20

组112越来越远迭

(k1)(k)(k)

x22x14x23代不收敛

(1)(2)(3)(4)(5)

x13x13x19x1