数列概念及等差数列.doc

数列概念及等差数列 一．课标要求： 1．数列的概念和简单表示法通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数通过实例，理解等差数列的概念探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作； 数列的一般形式：，，，……，，……，简记作 。 （2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如，数列①的通项公式是= （7，），数列②的通项公式是= （）。 说明：①表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，= =； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……，，……．通常用来代替，其图象是一群孤立点。 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 （5）递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式。 2．等差数列 （1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。 （2）等差数列的通项公式：； 说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。 （3）等差中项的概念： 定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中 ，，成等差数列。 （4）等差数列的前和的求和公式：。 四．典例解析 题型1：数列概念 （2008广东文4） 例1．记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ） A、2 B、3 C、6 D、7 【解析】,选B. 2.根据数列前4项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7……； （2），，，； （3），，，。 解析：（1）=2； （2）= ； （3）= 。 点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。 例2．数列中，已知， （1）写出，，； （2）是否是数列中的项？若是，是第几项？ 解析：（1）∵，∴， ，； （2）令，解方程得， ∵，∴， 即为该数列的第15项。 点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属。 题型2：数列的递推公式 例3．如图,一粒子在区域上运动,在第一秒内它从原点运动到点,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。 （1）设粒子从原点到达点时，所经过的时间分别为，试写出的通相公式； （2）求粒子从原点运动到点时所需的时间； （3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标。 解析：(1) 由图形可设，当粒子从原点到达时，明显有 …　　　　　　　　　　　　　… ∴＝, 。 , 。 , , 即。 （2）有图形知，粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点所经过得时间 再加（44－16）＝28秒， 所以秒。 （3）由2004，解得，取最大得n=44， 经计算，得从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）。 点评：从起始项入手，逐步展开解题思维。由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在。 例4．（1）已知数列适合：，，写出前五项并写出其通项公式； （2）用上面的数列，通过等式构造新数列，写出，并写出的前5项。 解：（1） ，，，，，……，；