第三节 牛顿插值多项式.doc

? 第三节 牛顿插值多项式 ? 拉格朗日插值的优点是插值多项式特别容易建立，缺点是增加节点时原有多项式不能利 用，必须重新建立，即所有基函数都要重新计算，这就造成计算量的浪费；牛顿(Newton )插值多项式是代数插值的另一种表现形式，当增加节点时它具有所谓的“承袭性”，这 要用到差商的概念。 5.3.1 差商的定义与性质 定义 已知函数f(x)的n+1个插值点为，=f()，i=0,1, …,n，称为f(x)在点的一阶差商，记为f［］，即 f［= (5.3.1) 一阶差商的差商称为f(x) 在点的二阶差商，记为f［］，即 f［=(5.2.2) 一般地，k-1阶差商的差商称为f(x)在点的k阶差商，记为f［］，即 f［= (5.3.3) 差商具有以下性质： 性质1 n阶差商可以表示成n+1个函数值的线 性组合，即 f［］= 事实上，由式(1)当n=1时，  当n=2时，   一般地有  f［= 性质2(对称性) 差商与节点的顺序无关，如 这一点可以从性质1看出。 性质3 若f(x)是x的n次多项式，则一阶差商f［］是x的n-1次多项式，二阶差商f［］是x的n-2次多项式；一般地，函数f(x)的k阶差商 f［］是x的n-k次多项式(k≤n)，而k＞n时，k阶差商为零。 利用差商的递推定义，可以用递推来计算差商，如下表。 一阶差商 二阶差商 三阶差商 … ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 注：①、②、…表示计算顺序。 ? ? ? 例1????? 已知 x 1 2 3 4 F(x) 0 2 15 12 ? 计算三阶差商f［1,3,4,7］。 解 作差商表 ? ? 一阶差商 二阶差商 三阶差商 1 0 ? ? ? 3 2 1 ? ? 4 15 13 4 ? 7 12 -1 -3.5 -1.25 ? 所以 f［1,3,4,7］=-1.25 ? 5.3.2 牛顿插值多项式 设x是［a,b］上任一点，则由f(x)的一阶差商定义式 同理由f(x)的二阶差商定义式得  一般地，由f(x)的n+1阶差商定义式 f［］= 有 即得到一系列等式   依次将后式代入前式，最后得： 上式可以写为 f(x)=+ 其中： (53.4) 可以看出，是关于x的次数不超过n的多项式，并且当x=时，有 =0 (i=0,1,…,n) 因而有 =f()， (i=0,1,…，n) 亦即满足插值条件，称为牛顿(Newton)插值多项式，再由插值多项式的唯一性可知，≡，因而两个多项式对应的余项是相等的，即 由此得到差商与导数的关系 性质4 若f(x)在［a,b］上存在n阶导数，且［a,b］(i=0,1,…，n)， 则 （5.3.6） 例2 已知f(x)= 解 因，所以由式(5.3.6)得  对于牛顿插值，如果增加一个插值节点，则由式(5.3.4)可得如下递推公式 这只要在多计算一行差商的基础上增加一项即可。 当n=1时， 这就是牛顿一次插值多项式，也就是点斜式直线方程。 例2????? 已知 1 3 4 7 f() 0 2 15 12 ? 求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。 解 在例1中，我们已计算出 则牛顿三次插值多项式为 例 4 已知f (x)在六个点的函数值如下表，运用牛顿型插值多项式求f(0.596)的近似值，精确到7位小数 。 表5-2 0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05 f() 0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25386 ? 解 列表5-3如下 表5-3 f() 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 五阶差商 ? 0.40 0.41075 ? ? ? ? ? 0.196 0.55 0.57815 1.1160 ? ? ? ? 0.046 0.65 0.69675 1.1860 0.2800 ? ? ? -0.054 0.80 0.88811 1.2757 0.3588 0.1970 ? ? -0.204 0.90 1.02652 1.3841 0.4336 0.2137 0.0344 ? -0.304 1.05 1.25386 1.5156 0.5260 0.2310 0.0346 0.0003 ? ? 于是 欲求，只需在之后再加一项 保留7位小数计算  即用4次