上课用函数的极值和导数.ppt

* * 1.3.2函数的极值与导数 a b x y O 定义 一般地, 设函数 f (x) 在点x0附近有定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有 我们就说 f (x0)是 f (x) 的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点. 反之, 若 , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极小值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值. o a x1 x2 x3 x4 b x y P(x1,f(x1)) y=f(x) Q(x2,f(x2)) （1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值; （2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值； （3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. 观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系? o a x0 b x y o a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f?(x) f(x) x x0左侧 x0 x0右侧 f?(x) f(x) 增 增 减 减 极大值 极小值 若寻找可导函数极值点,可否只由f?(x)=0求得即可? 思考 探索: x =0是否为函数f(x)=x3 的极值点? x y O f (x)?x3 f?(x)=3x2 当f?(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点. f?(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f?(x0) =0 注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( ) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值 D 注意：极值点指的是自变量x, 极值指的是函数值y 因为 所以 例1 求函数 的极值. 解: 令 解得 或 当 , 即 , 或 ; 当 , 即 . 当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表: f (x) 0 0 ( 2, +∞) 2 (–2, 2) –2 (–∞, –2) x – + + 单调递增 单调递减 单调递增 所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 . 求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程f’(x)=0的根 （3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 x X-1 -1 (-1,0) （0，1） 1 X1 + 0 - - 0 + 极大值 极小值 所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是2 导函数的正负是 交替出现的吗？ 不是 练习2 求下列函数的极值: 解: 令 解得 列表: f (x) 0 x + 单调递增 单调递减 – 所以, 当 时, f (x)有极小值 *