高三数列大题训练(一).doc

1.（本小题满分14分） 已知数列中，，且当时，，. 记的阶乘！ （1）求数列的通项公式；（2）求证：数列为等差数列； （3）若，求的前n项和. 解：（1）, ， ！ …………………………………………2分 又，！ ………………………………………………………3分 （2）由两边同时除以得即 …4分 ∴数列是以为首项，公差为的等差数列 …………………………5分 ，故 ……………………………6分 （3）因为 ………………8分 记= ………10分 记的前n项和为 则 ① ∴ ② 由②-①得： ……………………………………………………………………………………13分 ∴=……………14分 2．（本小题共13分） 定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”． （Ⅰ）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求的取值范围； （Ⅱ）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列； （Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项? (解题中可用以下数据 :) （Ⅰ）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列． 因为，显然有， 由得 解得. 所以当时， 是数列的保三角形函数. …………………3分 （Ⅱ）由，得， 两式相减得，所以 …………………5分 经检验，此通项公式满足. 显然, 因为, 所以是三角形数列. …………………8分 （Ⅲ）, 所以是单调递减函数. 由题意知， = 1 \* GB3 ①且 = 2 \* GB3 ②, 由 = 1 \* GB3 ①得，解得, 由 = 2 \* GB3 ②得，解得. 即数列最多有26项. …………………13分 3.（本小题满分14分） 已知数列中，，，且． （1）设，是否存在实数，使数列为等比数列．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （2）求数列的前项和．Ks5u （1）方法1：假设存在实数，使数列为等比数列， 则有． ①……………………………………1分 由，，且，得，． 所以，，，………………2分 所以， 解得或．…………………………………………………………………………………3分 当时，，，且， 有．………………………………………………4分 当时，，，且， 有．…………………………………………5分 所以存在实数，使数列为等比数列． 当时，数列为首项是、公比是的等比数列； 当时，数列为首项是、公比是的等比数列．……………………………………6分 （2）解：由（1）知，……………………………………7分 当为偶数时，…………………………8分 …………………………………………………………9分 ．…………………………………………………10分 当为奇数时，………………………………11分 …………………………………………………………12分 ．……………………………………………13分 故数列的前项和………………………………………14分 注：若将上述和式合并，即得． 4. （本小题满分14分） 已知数列满足： （1）求的值； （2）求证：数列是等比数列； （3）令（），如果对任意，都有，求实数的取值范围. 4、（I） ……………………………………………………………………………3分 （II）由题可知： ① ② ……………………5分 ②-①可得 即：，又 …………………7分 ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列 …………………………………8分 （Ⅲ）由（II）可得， ……………………………………………9分 由可得 ……………………11分 由可得,所以 故有最大值 所以，对任意，有 ……………………………………………………………………12分 如果对任意，都有，即成立， 则，故有：， 解得或 ∴实数的取值范围是 ……………………………………………………14分 5.（本小题满分14分）已知二次函数的图像过点，且，． （1）若数列满足，且，求数列的通项公式； （2）若数列满足: ,,当时, 求证: ① ② 【解析】（1），有