竞赛数列训练题.doc

竞赛数列专题训练（1） 1．（2009年全国联赛）使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 ．使得是完全平方数, 则的个位数字是________．设数列的前项和满足：，，则通项=． 是正整数，则q等于________．已知数列满足，则=___．，满足, 且， 则= ．满足：，则____．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） ，求不超过的最大整数 10.（2007年全国联赛） 设，求证：当正整数n≥2时，an+1an。 满足条件：对于任意正整数，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得的数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与一起恰好是1至全体自然数组成的集合，其中为数列的前项和. （1）求的值；（2）求数列的通项公式. 竞赛数列专题训练（1）参考答案 1. 设．显然单调递减，则由的最大值，可得．,则, 得 或,解得或, 由,知它的个位数字是9, 由,知它的个位数字也是9． 3. ， 即 2 =， 由此得 2．令， ()， 有，故，所以解：因为，故由已知条件知道：1+q+q2为，其中m为正整数。令，则 。由于q是小于1的正有理数，所以，即5≤m≤13且是某个有理数的平方，由此可知．由已知，且所以，即{}是首项公差为1的等差数列，所以=n即有 ，推出 。 因此有 . 即有 7．两边平方得， 又，两式相减，得 . 由求得，又由递推关系式易知数列是单调递增数列，所以，故，即，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，于是 ， 所以. 8. 易知： (ⅰ)该数表共有100行； (ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为，，，…， (ⅲ)为所求． 设第行的第一个数为，则 =…… 故．　 , , , , 不超过的最大整数为。　　　　　　　　　答案为　 10.解：证明：由于，因此，于是，对任意的正整数n≥2，有 ，即an+1an。 ，显然.对于，有 故，所以. （5分） （2）由题意知，集合按上述规则，共产生个正整数； 而集合按上述规则产生的个正整数中，除这个正整数外，还有（），共个数. 所以， . （10分） 因为 ，所以， （15分） 又因为当时， 而也满足.所以，（）. （20分） 竞赛数列专题训练（2） 1.（2010年江苏初赛）设数列满足（），求证：. 2.（2010年湖北竞赛）已知数列中，，且． （1）求数列的通项公式； （2）求证：对一切，有． 3.设数列满足，，其中． （1）证明：对一切，有； （2）证明：． 4.设数列满足,.求证：当时,. (其中表示不超过的最大整数)． 5.设为一个整数数列，并且满足：，．若，满足且的最小正整数n满足且，，求的通项公式． 7.(2012年全国联赛)已知数列{}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有． （1）当时，求所有满足条件的三项组成的数列； （2）是否存在满足条件的无穷数列{}，使得？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 竞赛数列专题训练（2）参考答案 1. 证明:由题意知当时,,命题成立； 当时，由，得，∴，， 从而有. 2. 解 （1）由已知，对有 ， 两边同除以n，得 ， 即 ， ……………………4分 于是，， 即 ， 所以 ，． 又时也成立，故． ……………………8分 （2）当，有 ，………………12分 所以时，有 又时， 故对一切，有． ……………………16分 3. 证明 （1）在已知关系式中，令，可得； 令，可得 ① 令，可得 ② 由①得，，，， 代入②，化简得． ---------------------------------------7分 （2）由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此． 于是． 因为，所以 ． 4. 解：对于任何正整数，由递推知．由知数列递减. 又对任意, ．即有,从而.于是， 当时，； 当时，由递减得. 故．所以，． 5. 解：当时，将原式变形为，令，则有，叠加可得，于是