柯西中值定理和不定式极限.ppt

§2柯西中值定理和不定式极限一柯西中值定理二不定式极限设曲线（图6-2-(d)）的参数方程为另一方面参数方程所确定函数的导数为由Lagrange定理知道，若曲线C连续，且处处有不平行于轴的切线，其线内必有一点的切线是平行于曲线两端点的连线.现在我们想知道的是：当平面曲线C是用参数方程表示时，Lagrange定理如何叙述？且是连续的、处处有不垂直于X轴的切线，端点、的连线——弦AB的斜率是这个结论实际上是由数学家Cauchy给出的，但他并没有局限、为参数方程的两个函数，而是作为两个一般的函数给出结论的.至少存在一点??(a,b)，使得所以应有结论：现给出一个形式更一般的微分中值定理.则存在，使得一柯西中值定理定理6.5（柯西中值定理）设函数和满足（i）在上都连续；(ii)在上都可导；(iii)不同时为零；(iv),(1)注1在uov平面上表示一段曲线（图6-5）.柯西中值定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义.只是现在要把这两个函数写作以x为参数的参量方程因此（1）式即表示上述切线与弦AB互相平行.ab时，Cauchy中值定理的结论仍成立.由于（1）式右边的表示连接该曲线两端的弦AB的斜率，而（1）式左边的则表示该曲线上与相对应的一点处的切线的斜率.注2Lagrange中值定理是中值定理的核心定理，故称之为微分学中值定理.注3如果取函数，Cauchy中值定理就变成Lagrange中值定理了，所以Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广，Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特殊情况（要求）；于是有，使得上式整理后便得到所要证明的（2）式.例1设函数在上连续，在内可导，则存在，使得（2）证设，显然它在上与一起满足柯西中值定理条件，不定式的极限即便是知道存在，也不能用商的极限法则来求.现在我们将以微分中值定理为理论依据、以导数为工具建立一个简便而又有效的求型、型不定式极限的方法——LHospital法则.我们在第三章学习无穷小（大）量阶的比较时，已经遇到过两个无穷小（大）量之比的极限．由于这种极限可能存在，也可能不存在，因此，我们把两个无穷小量或两个无穷大123654不定式极限.例如证明过的重要极限就是型不定式.分别记为型或型量之比的极限统称为不定式极限，二不定式极限1.型不定式极限若，求．与柯西中值定理的结论右端很相似，由柯西中值定理的条件可知，若补上、在a的某个空心邻或内可导,补充定义、在的函数值（不影响求函数极限）有且，则有在该邻域内任取x、、在内连续，在可导，且，从而存在，使若，有，从而若再补充条件存在，则有综上所述，有如下定理：(3)