§2柯西中值定理和不定式极限.ppt

§2 柯西中值定理和不定式极限 * * 首页 × 一 柯西中值定理 二 不定式极限 首页 × 设曲线（图6-2-(d)）的参数方程为 另一方面参数方程所确定函数的导数为 由Lagrange定理知道， 若曲线C连续，且处处有不平行于轴的切线，其线内必有一点的切线是平行于曲线两端点的连线. 现在我们想知道的是： 当平面曲线C是用参数方程表示时，Lagrange定理如何叙述？ 且是连续的、处处有不垂直于X轴的切线， 端点 、 的连线 ——弦AB的斜率是 首页 × 这个结论实际上是由数学家Cauchy给出的，但他并没有局限 、 为参数方程的两个函数，而是作为两个一般的函数给出结论的. 至少存在一点 ? ? (a,b)，使得 所以应有结论： 首页 × 现给出一个形式更一般的微分中值定理. 则存在 ，使得 一 柯西中值定理 定理6.5 （柯西中值定理） 设函数 和 满足 （i）在 上都连续； (ii) 在 上都可导； (iii) 不同时为零； (iv) , (1) 首页 × 在uov平面上表示一段曲线（图6-5）. 注1 柯西中值定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义. 只是现在要把 这两个函数写作以x为参数的参量方程 首页 × 因此（1）式即表示上述切线与弦AB互相平行. ab时，Cauchy中值定理的结论仍成立. 由于（1）式右边的 表示连接该曲线两端的弦 AB的斜率， 而（1）式左边的 则表示该曲线上 与 相对应的一点 处的切线的斜率. 注2　　　　　 首页 × Lagrange中值定理是中值定理的核心定理，故称之为微分学中值定理. 注3　　 　　　　如果取函数 ，Cauchy中值定理就变成Lagrange中值定理了，所以Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广， 　　　　　Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特殊情况（要求 ）； 首页 × 于是有 ，使得 上式整理后便得到所要证明的（2）式. 例1 设函数 在 上连续，在 内可导，则存在 ，使得 （2） 证 设 ， 显然它在 上与 一起满足柯西中值定理条件， 首页 × 　　不定式的极限即便是知道存在，也不能用商的极限法则来求. 现在我们将以微分中值定理为理论依据、以导数为工具建立一个简便而又有效的求 型、 型不定式极限的方法——LHospital法则. 二 不定式极限 　　我们在第三章学习无穷小（大）量阶的比较时，已经遇到过两个无穷小（大）量之比的极限． 　　　　　　　　　　　　　　　　　由于这种极限可能存在，也可能不存在，因此，我们把两个无穷小量或两个无穷大 量之比的极限统称为不定式极限， 　　　　　　　　　　　　　　　分别记为 型或 型 不定式极限.例如证明过的重要极限 就是 型不定式. 首页 × 1. 型不定式极限　　　 若 ， 求 ． 　与柯西中值定理的结论右端很相似，由柯西中值 定理的条件可知，若补上 、 在a的某个空心邻或内可导, 　补充定义 、 在