专题1.2 与三角形有关角的几何综合（压轴题专项讲练）（浙教版）（解析版）.pdf

专题1.2与三角形有关角的几何综合

【典例1】【问题背景】

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠+∠=∠+∠．

【简单应用】（可直接使用问题（1）中的结论）

∠∠

（2）如图2，、分别平分、，

①若∠=28°，∠=20°，求∠的度数；

②∠和∠为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠与∠、∠之间数量关系．

【问题探究】

（3）如图3，直线平分∠的邻补角∠，平分∠ADC的邻补角∠，

①若∠=30°，∠=18°，则∠的度数为___________；

②∠和∠为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠与∠、∠之间数量关系．

【拓展延伸】

11

（4）在图4中，若设∠=，∠=，∠=4∠，∠=4∠，试问∠与∠、∠之间的数量关

系为___________；（用x、y的代数式表示∠）

（5）在图5中，直线平分∠，平分∠的外角∠，猜想∠与∠、∠的关系，直接写出结论

___________．

【思路点拨】

（1）利用三角形内角和定理解决问题即可；

（2）①设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；

②由①的结论即可得到数量关系；

（3）①如图3中，设∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；

②与（3）中①相同；

（4）如图4中，设∠CAP=α，∠CDP=β，则∠PAB=3α，∠PDB=3β，利用（1）中结论，构建方程组即可解决

问题；

（5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建共线时即可解

决问题．

【解题过程】

（1）解：如图1中，

∵∠+∠+∠=180°，∠+∠+∠=180°，∠=∠，

∴∠+∠=∠+∠；

（2）解：①如图2中，

设∠=∠=，∠=∠=，

则有+∠=+∠，

+∠=+∠

∴∠−∠=∠−∠，

∴2∠=∠+∠，

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∴∠=2(∠+∠)=2(28°+20°)=24°；

②由①得：2∠=∠+∠；

（3）解：①如图3中，设∠=∠=，∠=∠=，

则有，∠+=∠+

∠+180°−2=∠+180°−2

∴2∠=∠+∠，

1

∴∠=2×(30°+18°)=24°；

故答案为：24°；

②设∠=∠=，∠=∠=

则有∠+=∠+，

∠+180−2=∠+180−2

∴2∠=∠+∠；

（4）解：如图4中，设∠=，∠=，则∠=3，∠=3，

则有∠+=∠+，

∠+3=∠+3

∴4∠=3∠+∠，

1

∴∠=4(3+)，

1

故答案为∠=4(3+)；

∠=∠=∠=

（5）解：如图5中，延长交于J