解析几何专项突破一直线与圆部分(教师版).doc

解析几何专项突破 【知识网络】 第一部分 直线与圆 【基础知识】 二、两直线平行与垂直的判定 1．两直线l1与l2 (1)l1∥l2?l1与l2斜率相等或l1与l2斜率都不存在；l1与l2斜率相等?l1∥l2或l1与l2重合． (2)l1⊥l2?l1与l2斜率之积为－1或l1与l2中一个斜率不存在另一个斜率为0.l1与l2斜率之积为－1?l1⊥l2. 2．两直线l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0. (1)l1∥l2?A1B2－A2B1＝0；A1B2－A2B1＝0 ?l1∥l2或l1与l2重合． (2)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. 三、直线的方程 1．直线方程五种形式中，要注意各自的适用范围，点斜式与斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴垂直的直线；截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线；一般式可表示任何直线． 2．待定系数法求直线方程，一般选用点斜式、斜截式、截距式，已知两点坐标时，才用两点式；求出直线方程后通常要化成一般式方程． 四、距离公式 1．两点间及点到直线的距离公式要熟记． 2．两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离为d＝. 五、圆的方程 1．标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)， 圆心为(a，b)，半径为r. 一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)， 圆心为－，－，半径为r＝. 【重点题型】 直线的倾斜角、斜率及直线方程的应用 例1.若圆x2＋y2－8x－20＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为4，则直线l的倾斜角的取值范围是________． ∪　 【解析】 圆的方程可化为：(x－4)2＋y2＝36，其圆心为(4,0)，半径为r＝6.由条件可知圆心到直线的距离d应满足d≤2，而直线l过原点，直线l方程可化为y＝－x，即为y＝kx，故≤2，∴－≤k≤，设倾斜角为α，∴－≤tanα≤，∵α∈[0，π)，∴倾斜角α的范围是∪. 【点评】 本题有两个关键点，一个是把条件中直线与圆的位置关系情况转化为圆心到直线的距离情况；另一个是由斜率范围求倾斜角范围，要结合正切函数的图象和性质，还要注意倾斜角范围，它是一个极易出错的地方． 两直线位置关系 例2. (1)直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)＋(2a＋3)y＝2互相垂直，则实数a的值是(　　) A．－3 B．1 C．0或－ D．1或－3 (2)“a＝3”是“直线ax－2y－1＝0与直线6x－4y＋c＝0平行”的(　　) A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 D　(2)C　 【解析】 (1)由两直线互相垂直的充要条件可知a·(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0可得a＝1或a＝－3. (2)a＝3时两条直线的斜率相等，但c的值不确定，两直线可能重合．当两直线平行时，斜率必须相等，可得到a＝3. 【点评】 判断两条直线平行和垂直位置关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，要注意对斜率存在与否加以判定；两直线a1x＋b1y＋c1＝0和a2x＋b2y＋c2＝0垂直的充要条件是a1a2＋b1b2＝0，用此结论处理较方便．两直线a1x＋b1y＋c1＝0和a2x＋b2y＋c2＝0平行的必要条件是a1b2－b1a2＝0，此条件成立时，两直线可能平行，也可能重合；因此，用此必要条件求出参数值时要检验． 圆的方程的应用 例3.在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O. (1)求圆C的方程； (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q点到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】 (1)设圆心为C(a，b)， ∵圆C与直线y＝x相切于坐标原点O， ∴OC与直线y＝x垂直，即直线OC的斜率kOC＝＝－1， 又由题设知，|OC|＝2， 即＝2， ∴解得或 ∴由圆心C在第二象限知 故所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8. (2)假设存在符合题设条件的点Q(m，n)，则 解得 ∴圆C上存在异于原点的点Q使Q点到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长． 【点评】 求圆的方程一般有两类方法：①几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，求得圆的基本量和方程；②代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．在求圆的方程时，尽量利用圆的基本性质(如本例利用了圆C与直线y＝x相切于坐标原点O的性质关系)，这样可以降低运算的难度，在做题时，画出对应的图形往往也能帮助我们寻找出更加简