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解析几何突破 直线与直线方程 直线的几何性质 两点确定一条直线。 以直线与轴的交点为顶点，以为角的始 边，按逆时针旋转，第一次与该直线重合时所转 的角叫做这条直线的倾斜角。 直线与轴的交点的横坐标叫做这条直线的 横截距；直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直 线的纵截距。 倾斜角的正切值叫做直线的斜率，记为， ， 直线与坐标轴围成的三角形的面积 揭示直线方向的量有：倾斜角、斜率，方向向量，法向量。 斜率的几种形式： 在直线上任取两点作一向量，该向量称为该直线的方向向量，记为，显然直线的方向向量有无数多个，容易推出： 与直线方向向量垂直的向量叫做该直线的法向量，直线的法向量也有无数多个，容易推出：， 10）A、B、C三点共线的充要条件： 11）利用直线方程求截距的求法： 令解出的值得纵截距；令解出的值得横截距。 12）倾斜角的范围： 13）斜率与倾斜角关系图像： 直线方程的几种形式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 或 （9） （10） （11） （为参数，是倾斜角） 一般式直线方程化简的四个标准： 1）在前，在后，接下来为常数项，等号右边为0； 2）的系数必须为正数； 3）各项系数（包括常数项）没有分母； 4）各项系数（包括常数项）没有公约数。 几个反例： ， ， ， 两直线的位置关系： 平行： 倾斜角相等，截距不相等； 平行线间的距离处处相等； 斜率存在，则斜率相等； 方向向量共线，法向量也共线 线线距离=点线距离=点点距离 ： ： ∥∥ 7）两平行线距离公式： 若： ： 则 点到直线的距离公式 点P，，直线： 则 点到点的距离公式 相交 两条直线相交构成四个角，其中两对对顶角，四组邻补角；若知道其中一个角的大小，则可求出其他三个角的大小。 我们把两条直线相交构成的四个角中不大于90°的那个角叫做夹角 以为角的始边，以它们的交点为角的顶点，按逆时针方向旋转，第1次与重合时所转的最小正角叫做从到的角，简称到角。显然倾斜角也是到角。 设的倾斜角为，设的倾斜角为，到的角为，与的夹角为，则有： ，， 时，，时， 5）时，，即：⊥时， 6）： ： ⊥⊥ 7）求交点坐标：联立方程求交点坐标 方程组的解即为交点坐标（， 圆与圆方程 圆的几何性质 圆上任意一点到圆心的距离都相等，且都等于半径长； 垂径定理 ①弦的中点与圆心的连线垂直于弦 ②弦的垂直平分线过圆心 ③弦长公式： ④为圆内一定点，过的所有弦中，为弦中点的弦长最短 圆外一定点P到圆C上任意一点的距离中，最大距离=PC+r,最小距离=PC-r (4)圆的切线的性质 ①切点所在半径垂直于切线 ②圆心到切线的距离等于半径长 ③切点坐标既满足切线方程，又满足圆方程 ④过圆上任一点，的切线方程为： (5)切线长定理 ①从圆外一点引圆的切线，所得的切线长相等； ②平分 ③切线长 ④经过两切点、的直线方程的求法： 先由直径式圆方程求出以为直径的圆方程，然后将 所得的圆方程与圆方程相减，即得经过两切点、 的直线方程 (6)切割线定理 PT是圆的切线，PAB是圆的割线，有结论：|PT|=|PA||PB| （7）相交弦定理：AB、CD分别是圆的弦，且相交于点P，有结论：|AP||PB|=|CP||PD| （8）两圆的公共弦定理 ①连心线垂直平分公共弦 ②公共弦所在直线方程的求法： 直接将两圆方程相减 ③公共弦长的求法 先求公共弦所在直线方程，然后求一圆心到公共弦的距离， 由勾股定理求出公共弦长的一半，最后乘2，得公共弦长。 圆方程的几种形式 （1） （2） （3） （4）（为参数） （5） 或（为参数） （6）（、不同时为0或 （7） （8） （9） （10） 三．点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 点与圆的位置关系：点在圆上、点在圆内、点在圆外 设点到圆心的距离为，圆的半径为，则有：点在圆上；点在圆内；点在圆外 进一步：设点，，圆方程：，则点到圆心的距离为，即：“判断点与圆的位置关系”就是转化为“求点点距离” 直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则有：相切，相交；相离。 进一步：设直线方程为：，圆方程：，圆心到直线的距离：，即：“判断直线与圆的位置关系”就是转化为“求点线距离” （3）圆与圆的位置关系：相交、相离、外切、内切、内含 设两个圆心之间距离为，圆的半径分别为、，则有： 相离；外切；相交；内切；内含 进一步：圆方程：，圆方程：，， 即：“判断圆与圆的位置关系”就是转化为“求点点距离” 椭圆及椭圆方程 椭圆图形的几何密码：存在两个定点，使得椭圆上任一点到这两个定点的距离之和长轴长。 如图： 椭圆方程的几种形式： （1） （2） （3），， （4） （5） （其中）