奔驰定理与四心问题-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.pdf
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重难点14奔驰定理与四心问题【五大题型】
【新高考专用】
►题型归纳
【题型1奔驰定理】3
【题型2重心问题】6
【题型3垂心问题】9
【题型4内心问题】12
【题型5外心问题】15
►命题规律
1、奔驰定理与四心问题
奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解平面几何问题，尤其是解跟三
角形的面积和
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问题，有着决定性基石作用.在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到作用，技巧性较强.
一般难度较大.
考点一奔驰定理
奔驰定理:
如图，已知尸为△ABC内一点，贝IJ有SAPBC•刀+SAMC•而+SA?AB•丽=0.
例11（）2（024•焦作模拟）已知△ABC所在平面内一点。满足0+砺+:沆=0,则3c面积是4
A3。面积（）
A.5倍B.4倍
C.3倍D.2倍
答案A
解析因为瓦?+丽反=0,
即2DA+2DB+DC=0,
所以SABCD:SMCD:SAABD=2：
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如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA+S△PAC·PB+S△PAB·PC=0.
例1(1)(2024·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足DA+DB+12DC=0，则△ABC的面积是△ABD的面积的(
A.5倍 B.4倍
C.3倍 D.2倍
答案A
解析因为DA+DB+12DC=
即2DA+2DB+DC=0，
所以S△B
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奔驰定理：
如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA+S△PAC·PB+S△PAB·PC=0.
例1(1)(2024·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足DA+DB+12DC=0，则△ABC的面积是△
A.5倍 B.4倍
C.3倍 D.2倍
(2)已知点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=4∶3∶2，设AO=λAB
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考情分析奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强.一般难度较大.
考点一考点二奔驰定理奔驰定理与三角形四心内容索引
奔驰定理考点一
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?例1√?
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规律方法?
?跟踪演练1√
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考点二奔驰定理与三角形四心
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?例2√考向1奔驰定理与重心
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?例3考向2奔驰定理与外心?
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?例4考向3奔驰定理与内心?
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?例5考向4奔驰定理与外心?
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涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可
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专题16奔驰定理与四心问题
【考点预测】
—.四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1.
2（）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任点到角两边的距离相等.
3（）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等.
4（）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.
二
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2025年新高考重难点14 奔驰定理与四心问题【五大题型】（原卷版）.pdf
重难点14奔驰定理与四心问题【五大题型】
13
24
35
45
56
1
ìî
.
1
1
PABCAPBAPCBPC
.
ìî.
ìî.
2
1
(1)
①2:1.
ABCPABC.
A(x,y)B(x,y)C(x,y)ABC
112233
P.
(2)
①.
ABCPABC.
(3)
①.
ABCP
ABC.
(4)
①
.
ABCPABC.
2
(1)OABC.
(2)OABC.
(3)OABC.
(4)OABC
.
1
111
===
12024ABCP
333
△:△
A14∶3B19∶4C24∶5D29∶6
1-123-24△3+4+5=2+3
△
+=
△
2133
ABCD
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2025年新高考重难点14 奔驰定理与四心问题【五大题型】（解析版）.pdf
重难点14奔驰定理与四心问题【五大题型】
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1
ìî
.
1
1
PABCAPBAPCBPC
.
ìî.
ìî.
2
1
(1)
2:1.
ABCPABC.
A(x,y)B(x,y)C(x,y)ABC
112233
P.
(2)
.
ABCPABC.
(3)
.
ABCP
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.
ABCPABC.
2
(1)OABC.
(2)OABC.
(3)OABC.
(4)OABC
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1
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4+6+9=0
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==(),
33
1212
=+=+
3339
111
==(
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2024年下学期—2025年上学期高一数学培优资料
奔驰定理与四心问题
知识归纳总结
知识一四心的概念
(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1；
(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等；
(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
知识二奔驰定理解决面积比例问题
奔驰定理：设O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记作SA，SB，SC，则SAeq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋SBeq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋SCeq\o\ac(
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2025年高考数学高考数学二轮重难题型攻略(新高考通用)专题07三角形中的四心问题与奔驰定理的应用(5大题型)(原卷版+解析).docx
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专题07三角形中的四心问题与奔驰定理的应用
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TOC\o1-1\h\u题型01重心 1
题型02外心 2
题型03内心 3
题型04垂心 4
题型05奔驰定理 6
题型01重心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的重心
1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）；
（2）在向量的坐标表示